[論文レビュー] Approximation Algorithms for the Incremental Knapsack Problem via Disjunctive Programming

Daniel Bienstock, Jay Sethuraman+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、時間経過に伴い容量が弱く増加するインクリメンタルナップサック問題（IK）に対して、定数倍近似アルゴリズムを提示する。本手法は、項目選択を時間的期間に跨って扱うために、分離プログラミングを用いる。さらに、時間に依存しないケース（IIK）に対しては、時間枠TがO(√log N)のときPTASを提供する。固定されたεに対して多項式時間内に(1−ε)-近似を得るため、最も価値の高いアイテムの推測と、有界な構成列挙を伴う多面体緩和を活用する。

ABSTRACT

In the incremental knapsack problem ($\IK$), we are given a knapsack whose capacity grows weakly as a function of time. There is a time horizon of $T$ periods and the capacity of the knapsack is $B_t$ in period $t$ for $t = 1, \ldots, T$. We are also given a set $S$ of $N$ items to be placed in the knapsack. Item $i$ has a value of $v_i$ and a weight of $w_i$ that is independent of the time period. At any time period $t$, the sum of the weights of the items in the knapsack cannot exceed the knapsack capacity $B_t$. Moreover, once an item is placed in the knapsack, it cannot be removed from the knapsack at a later time period. We seek to maximize the sum of (discounted) knapsack values over time subject to the capacity constraints. We first give a constant factor approximation algorithm for $\IK$, under mild restrictions on the growth rate of $B_t$ (the constant factor depends on the growth rate). We then give a PTAS for $\IIK$, the special case of $\IK$ with no discounting, when $T = O(\sqrt{\log N})$.

研究の動機と目的

• ナップサック容量が時間とともに弱く増加するインクリメンタルナップサック問題（IK）に対する多項式時間近似アルゴリズムの開発を目的とする。
• 時間に依存しないインクリメンタルナップサック問題（IIK）に対して、時間枠TがO(√log N)である制約下でPTASを提供することを目的とする。
• これまでのインクリメンタルサブセットサム問題に関する先行研究を一般化し、任意のアイテム価値および重さに拡張することを目的とする。
• 非可逆的アイテム配置という動的容量設定における課題に、新規の分離プログラミングフレームワークを用いて対処することを目的とする。
• インクリメンタル組合せ最適化における近似アルゴリズムのギャップを埋めるために、構成ベースの線形計画緩和と丸め込みを導入することを目的とする。

提案手法

• 最適解に含まれる最も価値の高いアイテムhを推測し、その後S^h（価値がv_h以下であるアイテム）に制限して検討する。
• アイテム価値を丸めることで変更されたインスタンスを生成し、離散変数σ^k_t ∈ {0, 1, ..., J}（J = ⌈1/ε⌉）を用いて有界な構成列挙を可能にする。
• 時間経過にわたる適切なアイテム割り当て構成を捉える多面体Q^{σ,h}を定義し、モノトニシティ（アイテムの削除が禁止）と容量制約を強制する。
• Q^{σ,h}上での線形計画緩和により分数解を計算し、その後丸め込みを適用して整数解の妥当な解を得る。
• すべての推測hと構成σに対して、各可解多面体Q^{σ,h}の和集合を取ることで、分離プログラムを構築し、最適解空間のカバーを保証する。
• 各Q^{σ,h}に対して、多項式時間内に(1−ε)-近似解を計算できることを証明し、全体の問題に対して(1−ε)^2-近似が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 容量増加率B_tに制限的仮定を設けない状況下でも、インクリメンタルナップサック問題（IK）に対して定数倍近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 時間枠Tが任意である場合、時間に依存しないインクリメンタルナップサック問題（IIK）に対してPTASは存在するか？
• RQ3 本手法は、ナップサックを越えた他のインクリメンタル組合せ最適化問題へ一般化可能か？
• RQ4 非可逆的アイテム選択を伴う動的ナップサック設定において、近似品質と計算複雑性のトレードオフは何か？
• RQ5 必要となるLPの数はεおよびTに対してどのように増加するか？どのような条件下で多項式的保証が得られるか？

主な発見

• 本稿では、B_tの増加率に関するやや緩い仮定の下で、IKに対する定数倍近似アルゴリズムを提示する。近似因子は増加率に依存する。
• 時間に依存しないケース（IIK）では、T = O(√log N)のときPTASが達成され、固定されたεに対して必要なLP数はNに関して多項式的である。
• 分離手順で考慮される多面体Q^{σ,h}の数は、O(N(1/ε + T)^{O(log(T/ε)/ε²)})で有界であり、T = O(√log N)のときNに関して多項式的になる。
• 各可解多面体Q^{σ,h}に対して、多項式時間内に(1−ε)-近似解を計算可能であり、全体の解が最適値の(1−ε)^2以内に保証される。
• 本手法により、最適解が多面体Q^{σ,h}の和集合内にカバーされることを保証し、列挙と丸め込みによる正当な近似が可能になる。
• 本手法は、ハートラインとシャープの先行研究を改善し、一般の価値および重さに拡張され、より包括的な近似フレームワークを提供する。