[論文レビュー] Approximation algorithms for two-machine flow-shop scheduling with a conflict graph

Yinhui Cai, Guangting Chen+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、衝突グラフとしてモデル化されたジョブの衝突を伴う2マシンフローチョークスケジューリングの近似アルゴリズムを提示する。ユニットジョブの場合、多項式時間で解けるパスカバー問題の変種に基づく4/3-近似アルゴリズムを導入する。衝突グラフが2つの互いに素なクリークの和集合である場合、ジョブの集約とジョンソンの法則を用いた3/2-近似アルゴリズムを提案し、両者ともタイトな性能保証を持つ。

ABSTRACT

Path cover is a well-known intractable problem that finds a minimum number of vertex disjoint paths in a given graph to cover all the vertices. We show that a variant, where the objective function is not the number of paths but the number of length-$0$ paths (that is, isolated vertices), turns out to be polynomial-time solvable. We further show that another variant, where the objective function is the total number of length-$0$ and length-$1$ paths, is also polynomial-time solvable. Both variants find applications in approximating the two-machine flow-shop scheduling problem in which job processing has constraints that are formulated as a conflict graph. For the unit jobs, we present a $4/3$-approximation algorithm for the scheduling problem with an arbitrary conflict graph, based on the exact algorithm for the variants of the path cover problem. For the arbitrary jobs while the conflict graph is the union of two disjoint cliques, that is, all the jobs can be partitioned into two groups such that the jobs in a group are pairwise conflicting, we present a simple $3/2$-approximation algorithm.

研究の動機と目的

• ジョブの衝突制約を伴う2マシンフローチョークスケジューリングのための効率的な近似アルゴリズムの開発。
• ジョブ同士が対になって同時に処理できない場合のマキシマムスケジューリングの最小化という課題に対処。
• 衝突グラフが2つの互いに素なクリークの和集合であるか、ユニット長ジョブからなる特別なケースの探求。
• 新しいグラフ理論的技術を用いて、これらの特別なケースにおけるタイトな近似比の確立。
• 計算困難なパスカバーの変種と実用的なスケジューリング近似アルゴリズムの間のギャップを埋める。

提案手法

• 孤立頂点（0パス）と辺（1パス）の数を最小化するパスカバー問題の変種を導入し、これが多項式時間で解けることを示す。
• このパスカバー変種の正確な解を用いて、任意の衝突グラフを伴うユニットジョブの4/3-近似アルゴリズムを設計する。
• 衝突グラフが2つの互いに素なクリークの和集合である場合、ジョブをその衝突グループに基づいて2つのスーパーマシンに集約する。
• 2つの集約ジョブにジョンソンのアルゴリズムを適用し、3/2-近似保証を持つスケジュールを生成する。
• すべての可能な処理時間の順序を考慮して、アルゴリズムのマキシマムスケジューリングと最適マキシマムスケジューリングを比較することで性能比を証明する。
• 相対的な処理時間に基づく組合せ的解析とケース別検討を用いて、近似境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立頂点（0パス）の数を最小化するようにパスカバー問題を変種化した場合、それが多項式時間で解けるか？
• RQ2 任意の衝突グラフを伴うユニットジョブの2マシンフローチョークスケジューリングにおいて、最良の近似比は何か？
• RQ3 衝突グラフが2つの互いに素なクリークの和集合である場合、より良い近似比が達成可能か？
• RQ4 ユニットジョブにおける4/3-近似比は、漸近的にタイトか？
• RQ5 集約ジョブスケジューリングアプローチにおけるアイドルタイムを短縮することで、近似比を改善可能か？

主な発見

• 孤立頂点（0パス）の数を最小化するパスカバー問題の変種は、多項式時間で解ける。
• 孤立頂点（0パス）と辺（1パス）の合計数を最小化するパスカバー問題の変種も、多項式時間で解ける。
• 任意の衝突グラフを伴うユニットジョブの2マシンフローチョークスケジューリングに対して、4/3-近似アルゴリズムが達成された。
• ユニットジョブにおける4/3-近似比は、標準的な計算複雑性仮定のもとで漸近的にタイトであり、それ以上の良い比は不可能である。
• 衝突グラフが2つの互いに素なクリークの和集合である場合の3/2-近似アルゴリズムが提示された。
• 3/2-近似アルゴリズムは、衝突グラフの辺数mを用いてO(m)時間で実行され、ジョブの集約とジョンソンの法則に基づく。