[論文レビュー] Approximation and Bounded Plurisubharmonic Exhaustion Functions Beyond Lipschitz Domains

Benny Avelin, Lisa Hed+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素多重サブハーモニック関数論における2つの基礎的結果—多重サブハーモニック関数の近似と有界なエクhaustion関数の存在—を、境界の正則性が低い、具体的には $C^0$ およびログリプシッツ境界を持つ領域へと拡張する。偏微分方程式（PDE）技法と洗練された漸近解析を用いて、著者たちは $C^0$ 領域上における連続な多重サブハーモニック関数が、その閉包の近傍で滑らかな多重サブハーモニック関数によって一様近似可能であることを証明し、またログリプシッツ領域上に有界な多重サブハーモニックエクhaustion関数の存在を確立する。これにより、フォルナエス＝ヴィーゲリンクとデメールリの結果がリプシッツ境界を越えて一般化される。

ABSTRACT

Using techniques from the analysis of PDEs to study the boundary behaviour of functions on domains with low boundary regularity, we extend results by Fornaæss-Wiegerinck (1989) on plurisubharmonic approximation and by Demailly (1987) on the existence on bounded plurisubharmonic exhaustion functions to domains beyond Lipschitz boundary regularity.

研究の動機と目的

• フォルナエスとヴィーゲリンクの $C^1$ 境界における多重サブハーモニック関数の近似結果を $C^0$ 境界へ拡張すること。
• デメールリのリプシッツ境界における有界な多重サブハーモニックエクhaustion関数の存在結果を、ログリプシッツ境界へ一般化すること。
• 多重サブハーモニック関数論における超凸性および近似性質が成立するための最小境界正則性を特定すること。
• 近似の精度と近似関数の定義域の大きさの間の明示的関係を示すこと。
• 境界を自己交差を起こさずに平行移動できるという幾何的性質が、多重サブハーモニック関数の境界を越えた拡張を可能にする鍵であることを示すこと。この性質はグラフ領域では成立するが、一般のフラクタル領域では成立しない。

提案手法

• 近似精度と定義域の大きさの関係を推定するために、フォルナエスとヴィーゲリンクの証明手法を明示的な計算とともに適応する。
• リッヒベルグ正則化補題（補題8）を用いて、部分集合が制御された複素ヘッシアンを持つ滑らかな近似関数を構成する。
• ログリプシッツ幾何に適合した距離関数に基づく対数型バリア関数を用いて、エクhaustion関数の成長を制御する。
• 複素ヘッシアンの漸近的挙動を距離関数 $\delta(z)$ の関数として分析し、$\log \log(1/\delta(z))$ 型の補正項を用いる。
• 近似が有効である領域の大きさを推定するために、ランバート $W$-関数を用いた比較論法を適用する。
• モデル関数とログリプシッツ正則性を反映する対数補正項を組み合わせることで、境界付近で成長が制御された強い多重サブハーモニック関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な $C^0$ 領域 $\Omega$ 上の連続な多重サブハーモニック関数は、その閉包の近傍で滑らかな多重サブハーモニック関数によって一様近似可能か？
• RQ2 擬凸領域が有界な多重サブハーモニックエクhaustion関数をもつための最小境界正則性は何か？
• RQ3 境界の一部を自己交差を起こさずに平行移動できるという性質が、有界な多重サブハーモニックエクhaustion関数の存在に依存するか？
• RQ4 低正則性領域において、フォルナエス＝ヴィーゲリンク型の構成における近似誤差は、定義域の大きさにどのように依存するか？
• RQ5 デメールリの証明における漸近的解析を、境界付近での複素ヘッシアンの成長推定値を精緻化することで、ログリプシッツ領域へ拡張可能か？

主な発見

• 有界な $C^0$ 領域 $\Omega$ 上で、$\mathcal{PSH}(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ に属する任意の関数は、$\overline{\Omega}$ 上で $\mathcal{PSH}(\overline{\Omega}) \cap C^\infty(\overline{\Omega})$ に属する関数によって一様近似可能であり、フォルナエス＝ヴィーゲリンクの結果が $C^1$ 境界を越えて拡張される。
• 任意の有界な擬凸領域でログリプシッツ境界をもつ領域上に、有界な多重サブハーモニックエクhaustion関数が存在する。これはデメールリの結果をリプシッツ境界からログリプシッツ境界へ一般化する。
• エクhaustion関数の構成は、ログリプシッツ領域における距離関数の遅い減衰を反映した、注意深く選ばれた対数型バリア関数に依存する。
• 著者たちは、$\delta(z) \leq \varepsilon_0$ のとき、関数 $\widetilde{w}(z)$ が $\widetilde{w}(z) \geq \left(1 - \frac{\log 2}{\log(1/\delta(z))} - C_1 \omega(\delta(z))\right) C \frac{\log[\widetilde{C}_1 \log(1/\delta(z))] }{\log(1/\delta(z))} |z|^2$ を満たす定量的推定式を確立し、これが強い多重サブハーモニック性を保証する。
• 証明により、$\varepsilon < \widehat{c} \delta(z)$ を満たす十分に小さい $\widehat{c}$ を選べば、近似誤差を制御でき、近似関数が元の関数に近いまま保たれることを示している。
• 低正則性の下でも、複素ヘッシアンの下界を保つ正則化プロセスを用いることで、ログリプシッツ領域上に有界な多重サブハーモニックエクhaustion関数の存在が確立される。