[論文レビュー] Approximation and convergence of formal CR-mappings

Francine Meylan, Nordine Mir+1 more|ArXiv.org|May 14, 2002

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、複素空間内の最小的実解析的CR部分多様体から実代数的集合への任意の形式的正則写像が、任意の有限次までの収束正則写像により近似可能であることを確立している。主な結果は、非収束形式的写像は、その被写像を被覆先の無限D’Angelo型をもつ点の集合へ写像しなければならないことであり、被覆先に基点を通過する正次元の複素代数的部分多様体を含まない場合には収束が保証される。

ABSTRACT

Let $M\subset C^N$ be a minimal real-analytic CR-submanifold and $M'\subset C^{N'}$ a real-algebraic subset through points $p\in M$ and $p'\in M'$. We show that that any formal (holomorphic) mapping $f\colon (C^N,p) o (C^{N'},p')$, sending $M$ into $M'$, can be approximated up to any given order at $p$ by a convergent map sending $M$ into $M'$. If $M$ is furthermore generic, we also show that any such map $f$, that is not convergent, must send (in an appropriate sense) $M$ into the set $E'\subset M'$ of points of D'Angelo infinite type. Therefore, if $M'$ does not contain any nontrivial complex-analytic subvariety through $p'$, any formal map $f$ as above is necessarily convergent.

研究の動機と目的

• 実解析的CR部分多様体と実代数的集合の間の形式的正則写像が、収束正則写像により近似可能かどうかを同定すること。
• 形式的写像が収束する条件を、被覆先の幾何的性質と関連づけて特徴づけること。
• Artinの近似定理を、被覆先が完全交差や収束方程式によって定義されていないCR幾何の文脈に拡張すること。
• 被覆多様体内での無限D’Angelo型をもつ点の集合が、形式的CR写像の収束の唯一の障害である役割を明確にすること。
• 従来の研究で仮定されていた写像の有限性や可逆性を仮定せず、形式的CR写像の収束性を解明すること。

提案手法

• 非一般的最小CR部分多様体の内在的複素化を用いて、非一般的ケースを一般的ケースに還元すること。
• 形式的べき級数写像の文脈において、CR幾何的状況に適合させたArtinの近似定理の応用。
• 与えられた形式的写像 $ f $ に対して、$ f^k $ と表される収束正則写像の列を構成し、$ f^k $ が $ f $ と $ k $ 次まで一致し、かつ $ M $ を $ M' $ へ写像するようにすること。
• $ \mathcal{E}' \subset M' $ を定義し、その集合は $ M' $ 内に正次元の既約複素解析的部分多様体が通る点からなるものとし、非収束の臨界的領域として分析すること。
• 正則関数の局所環の分数体の体の超越次元を用いた超越基底の議論により、写像が $ \mathcal{E}' $ に含まれない場合に矛盾を導くこと。
• 最小性と一般性を活用した、写像のグラフの積空間における構造と特定のべき級数展開の収束性を用いた背理法による証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の形式的正則写像 $ f: (\mathbb{C}^N, p) \to (\mathbb{C}^{N'}, p') $ が、最小的実解析的CR部分多様体 $ M \subset \mathbb{C}^N $ を実代数的集合 $ M' \subset \mathbb{C}^{N'} $ へ写像する場合、その写像を任意の有限次までの収束正則写像 $ f^k $ により近似可能か？
• RQ2 形式的CR写像が収束しない原因となる幾何的障害は何か？ そして、その障害は正確に特徴づけられるか？
• RQ3 被覆先集合 $ M' $ に対してどのような条件下で、すべての形式的CR写像が必然的に収束するか？
• RQ4 形式的CR写像の収束性は、従来の文献で仮定されていた写像の可逆性や有限性に依存しないか？
• RQ5 被覆先 $ M' $ 内の無限D’Angelo型をもつ点の集合が、非収束形式的CR写像の唯一の可能な像領域であることが示せるか？

主な発見

• 任意の形式的正則写像 $ f: (\mathbb{C}^N, p) \to (\mathbb{C}^{N'}, p') $ が、最小的実解析的CR部分多様体 $ M \subset \mathbb{C}^N $ を実代数的集合 $ M' \subset \mathbb{C}^{N'} $ へ写像する場合、任意の有限次 $ k $ において、$ f^k $ と表される収束正則写像により近似可能であり、$ f^k $ も $ M $ を $ M' $ へ写像する。
• もし $ M $ が一般的であれば、収束しない任意の形式的写像 $ f $ は、$ M $ を $ \mathcal{E}' \subset M' $ へ写像しなければならない。ここで $ \mathcal{E}' $ は、$ M' $ 内に正次元の既約複素解析的部分多様体が通過する点の集合である。
• 最小的実解析的一般的部分多様体から $ M' $ へのすべての形式的CR写像が収束するための必要十分条件は、$ M' $ が $ p' $ を通る正次元の既約複素解析的部分多様体を含まないことである。
• 本結果は、写像 $ f $ が可逆であるか、有限であるか、あるいは定数関数でもないという仮定を一切不要であり、従来の結果の顕著な一般化である。
• 証明は、正則関数の局所環の分数体の超越次元を用いた背理法に依拠しており、非収束は像が $ \mathcal{E}' $ に含まれることを示唆する。
• 近似写像 $ f^k $ の構成は、非一般的ケースを複素化によって一般的ケースに還元し、テイラー多項式を用いて形式的写像と $ k $ 次まで一致させることで達成される。