[論文レビュー] Approximation and Hardness for Token Swapping

Tillmann Miltzow, Lothar Narins+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 7被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、グラフ上のトークンスワッピング問題に対するタイトなアルゴリズム的バウンズを確立し、それがNP完全であり、APX-hardであることを証明し、指数時間仮説（ETH）のもとでは2^o(n)時間で解けないことを示している。また、色付きバージョンに対しては4-近似アルゴリズムを提示し、木に対しては2-近似アルゴリズムを提示しており、2^O(n log n)の正確なアルゴリズムと一致する下界を併せ持つ。これにより、一般のグラフにおける近似可能性と条件付きの難易度に関する長年の未解決問題が解決された。

ABSTRACT

Given a graph G=(V,E) with V={1,...,n}, we place on every vertex a token T_1,...,T_n. A swap is an exchange of tokens on adjacent vertices. We consider the algorithmic question of finding a shortest sequence of swaps such that token T_i is on vertex i. We are able to achieve essentially matching upper and lower bounds, for exact algorithms and approximation algorithms. For exact algorithms, we rule out any 2^{o(n)} algorithm under the ETH. This is matched with a simple 2^{O(n*log(n))} algorithm based on a breadth-first search in an auxiliary graph. We show one general 4-approximation and show APX-hardness. Thus, there is a small constant delta > 1 such that every polynomial time approximation algorithm has approximation factor at least delta. Our results also hold for a generalized version, where tokens and vertices are colored. In this generalized version each token must go to a vertex with the same color.

研究の動機と目的

• 一般のグラフ上でのトークンスワッピング問題が多項式時間で解けるか、NP完全であるかという未解決問題を解明すること。
• 一般のグラフに対して定数因子の多項式時間近似アルゴリズムが存在するかを特定すること。
• 正確なおよび近似アルゴリズムの複雑さに対するタイトな条件付き下界を確立すること。
• トークンと頂点に色が付いた色付きトークンスワッピングの拡張版に対して結果を拡大すること。この場合、トークンは同じ色の頂点に到達しなければならない。

提案手法

• 入力頂点と出力頂点間で任意の偶置換をシミュレートできる、新しいガジェットである偶置換ネットワークを設計する。
• 3SATから、互いに素なパスを含む構造化されたグラフ問題への線形還元を行い、その後、色付きトークンスワッピング問題へと還元する。
• 各色クラスに偶置換ネットワークを接続することで、色付きバージョンを無色バージョンに還元し、線形のブロー・アップを維持する。
• スパース化補題を用いて、還元が部分指数時間の複雑さを保つようにし、ETHに基づく下界を可能にする。
• トークンの移動とパス割り当てに関する構造的洞察を活用して、色付きトークンスワッピング問題に対する4-近似アルゴリズムを開発する。
• 木の固有の性質とトークンパスの分解に基づいて、2-近似アルゴリズムを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフ上でのトークンスワッピング問題はNP完全か？
• RQ2 一般のトークンスワッピング問題に対して、定数因子の多項式時間近似アルゴリズムが存在するか？
• RQ3 指数時間仮説（ETH）のもとでは、2^o(n)時間でこの問題が解けるか？
• RQ4 色付きトークンスワッピング問題（トークンが同じ色の頂点に到達しなければならない）もまたNP-hardかつAPX-hardか？
• RQ5 難易度の結果は有界次数のグラフへと拡張可能か？

主な発見

• トークンスワッピング問題は、有界次数のグラフに対してもNP完全である。
• 指数時間仮説（ETH）が成り立たない限り、2^o(n)時間でこの問題は解けないことが示され、タイトな下界が確立された。
• 問題はAPX-hardであるため、P≠NPの下では多項式時間近似スキーム（PTAS）は存在せず、あるδ>1より良い定数因子近似も存在しない。
• 一般のグラフ上での色付きトークンスワッピング問題に対して4-近似アルゴリズムが提示された。
• 木に対しては2-近似アルゴリズムが与えられ、従来の結果を改善した。
• 正確なアルゴリズムは2^O(n log n)時間で動作し、ETH下での2^o(n)下界と照らし合わせると、ほぼ最適である。