[論文レビュー] Approximation and Parameterized Complexity of Minimax Approval Voting

Marek Cygan, Łukasz Kowalik+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

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ひとこと要約

本稿は、最小最大承認投票のパラメータ化された複雑さのタイトな境界を確立し、指数時間仮説（ETH）のもとで、既知の最良のアルゴリズムが本質的に最適であることを証明する。時間 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ で動作するパラメータ化された近似スキームを導入し、近似的に最良の実行時間にほぼ一致する、新たな確率的多項式時間近似スキーム（PTAS）を提示する。これは、近接文字列問題の既知の最速のPTASにほぼ一致する。

ABSTRACT

We present three results on the complexity of Minimax Approval Voting. First, we study Minimax Approval Voting parameterized by the Hamming distance $d$ from the solution to the votes. We show Minimax Approval Voting admits no algorithm running in time $\mathcal{O}^\star(2^{o(d\log d)})$, unless the Exponential Time Hypothesis (ETH) fails. This means that the $\mathcal{O}^\star(d^{2d})$ algorithm of Misra et al. [AAMAS 2015] is essentially optimal. Motivated by this, we then show a parameterized approximation scheme, running in time $\mathcal{O}^\star(\left({3}/ε ight)^{2d})$, which is essentially tight assuming ETH. Finally, we get a new polynomial-time randomized approximation scheme for Minimax Approval Voting, which runs in time $n^{\mathcal{O}(1/ε^2 \cdot \log(1/ε))} \cdot \mathrm{poly}(m)$, almost matching the running time of the fastest known PTAS for Closest String due to Ma and Sun [SIAM J. Comp. 2009].

研究の動機と目的

• ハミング距離 $d$ としての解から投票へのパラメータ化された複雑さの理解。
• この設定におけるパラメータ化されたアルゴリズムの既知の上界と下界のギャップを埋める。
• 近似的に最適な実行時間を持つ、高速な確率的多項式時間近似スキーム（PTAS）の開発。
• 提案された確率的PTASの決定的化と、最小最大承認投票および近接文字列の類縁問題における既存のPTASの実行時間の改善の可能性の探求。

提案手法

• 指数時間仮説（ETH）が成立しない限り、最小最大承認投票を時間 $\mathcal{O}^*(2^{o(d\log d)})$ で解くアルゴリズムは存在しないことを証明し、タイトな下界を確立する。
• 時間 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ で動作するパラメータ化された近似スキーム（PAS）を設計し、ETHのもとで本質的に最適であることを示す。
• 時間 $n^{\mathcal{O}(1/\epsilon^2 \cdot \log(1/\epsilon))} \cdot \text{poly}(m)$ で動作する確率的PTASを導入し、近接文字列の既知の最速のPTASにほぼ一致する。
• 線形計画法の解の確率的丸めと、集中不等式（例：チェルノフの不等式）を用いて期待値からの逸脱確率を制限する。
• 小規模な $d$ に対して決定的アルゴリズムと確率的PTASを組み合わせ、高確率で $ (1+\epsilon) $-近似を得る。
• 確率的解析により、高確率ですべての投票とのハミング距離が $ (1+\epsilon) \cdot \text{OPT} $ 以内であり、解における1の数が $k$ から $\frac{1}{2}\epsilon \cdot \text{OPT}$ 以内に収まることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小最大承認投票の $\mathcal{O}^*(d^{2d})$ アルゴリズムは改善可能か？ その改善の限界は何か？
• RQ2 時間 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ で動作する最小最大承認投票のパラメータ化された近似スキームは存在するか？ そしてこの境界はタイトか？
• RQ3 近接文字列の既知の最速のPTASにほぼ一致する実行時間を持つ、最小最大承認投票の確率的PTASは構築可能か？
• RQ4 類似した実行時間で維持しつつ、提案された確率的PTASを決定的化することは可能か？
• RQ5 ETHのもとで、最小最大承認投票および近接文字列におけるPTASの最もタイトな実行時間の境界は何か？

主な発見

• 最小最大承認投票は、指数時間仮説（ETH）が成立しない限り、時間 $\mathcal{O}^*(2^{o(d\log d)})$ で解けることはなく、ミトラらによる $\mathcal{O}^*(d^{2d})$ アルゴリズムが本質的に最適であることを証明する。
• 時間 $\mathcal{O}^*( (3/\epsilon)^{2d} )$ で動作するパラメータ化された近似スキーム（PAS）が提示され、ETHのもとで本質的にタイトである。
• 時間 $n^{\mathcal{O}(1/\epsilon^2 \cdot \log(1/\epsilon))} \cdot \text{poly}(m)$ で動作する、新たな確率的多項式時間近似スキーム（PTAS）が開発され、近接文字列の既知の最速のPTASにほぼ一致する。
• PTASは確率 $1-r$ 以上で $ (1+\epsilon) $-近似を達成し、総実行時間は $ n^{\mathcal{O}(\log(1/\epsilon)/\epsilon^2)} \cdot \text{poly}(m) $ で抑えられる。
• ETHのもとでは、最小最大承認投票のPTASが時間 $ f(\epsilon) \cdot n^{o(1/\epsilon)} $ で動作することは不可能であり、任意のPTASの実行時間に根本的な下界が存在する。
• 解析により、確率 $1/2$ 以上で、すべての投票とのハミング距離が $ (1+\epsilon) \cdot \text{OPT}$ 以内であり、解における1の数が $k$ から $\frac{1}{2}\epsilon \cdot \text{OPT}$ 以内に収まることを示す。$E_i$ および $F_i$ における集中不等式を用いる。