[論文レビュー] Approximation and Schur properties for Lipschitz free spaces over compact metric spaces

Peter Hájek, Gilles Lancien+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、任意の分離可能なバナッハ空間 $X$ に対して、カントール空間と同相なコンパクトな距離空間 $K$ が存在し、そのリプシッツ・フリー空間 $\mathcal{F}(K)$ が $X$ に線形同相な補完部分空間を含むことを確立する。さらに、このようなフリー空間が近似性質を満たさないことがあること、およびカントール空間上に位相的に同値な距離の非可算族が存在し、それに対応するフリー空間が互いに同型でないことを示している。また、任意の可算コンパクトな距離空間上のフリー空間がシュール性質を有することも示している。

ABSTRACT

We prove that for any separable Banach space $X$, there exists a compact metric space which is homeomorphic to the Cantor space and whose Lipschitz-free space contains a complemented subspace isomorphic to $X$. As a consequence we give an example of a compact metric space which is homeomorphic to the Cantor space and whose Lipschitz-free space fails the approximation property and we prove that there exists an uncountable family of topologically equivalent distances on the Cantor space whose free spaces are pairwise non isomorphic. We also prove that the free space over a countable compact metric space has the Schur property. These results answer questions by G. Godefroy.

研究の動機と目的

• リプシッツ・フリー空間が完璧で、完全に分離されたコンパクトな距離空間（カントール空間に同相）に対して、有界近似性質を有するかどうかというゴデフロワの未解決問題を解決すること。
• カントール空間に同相なコンパクトな距離空間を構成し、そのリプシッツ・フリー空間が近似性質を満たさないことを証明すること。
• カントール空間上に位相的に同値な距離の非可算族を構成し、それに対応するフリー空間が互いに同型でないことを示すこと。
• 任意の可算コンパクトな距離空間上のリプシッツ・フリー空間がシュール性質を有することを証明し、弱列収束性とノルム収束性に関する予想を確認すること。

提案手法

• バナッハ空間のフリー空間における重心写像の線形等長上昇構成を、距離空間へと適応し、[7]の手法の変種を用いて、任意の分離可能なバナッハ空間をコンパクトな距離空間上のフリー空間に埋め込むこと。
• カントール・ベンディクソン導来を用いた超限帰納法により、距離空間を、それぞれの導来が自明となる閉開部分集合に分解し、$K^{(\alpha)} = \{0\}$ となる場合に還元すること。
• 互いに分離された閉開部分集合 $K_i$ を持つ $K = \bigcup K_i$ に対して、フリー空間の等長分解 $\mathcal{F}(K) \cong \big(\bigoplus_{i=1}^n \mathcal{F}(K_i)\big)_{\ell_1}$ を適用すること。
• 背理法を用いる：弱ノルム列がノルム収束しないと仮定し、各成分 $\mathcal{F}(C_k)$ への制御された射影 $T_k$ を用いて、$\ell_1$-基底と同型な部分列を構成すること。
• 区間 $F_n$ 上の射影の $\frac{1}{3}$-下界に基づく重要な推定式 $\|\sum \alpha_n \gamma_{i_n}\| \geq \frac{\delta}{6} \sum |\alpha_n|$（$\delta > 0$）を用い、弱ノルム性に矛盾することを示すこと。
• 文献[13]の結果 $\mathcal{F}(M) \hookrightarrow \big(\sum_{k\in\mathbb{Z}} \mathcal{F}(M_k)\big)_{\ell_1}$ を用いて、シュール性質を適切な可算距離空間へ拡張し、各 $\mathcal{F}(M_k)$ のシュール性質を適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カントール空間に同相なコンパクトな距離空間のうち、リプシッツ・フリー空間が近似性質を満たさないもの是否存在するか？
• RQ2 カントール空間上に、位相的に同値な距離の非可算族を構成し、それに対応するフリー空間が互いに同型でないようにできるか？
• RQ3 可算コンパクトな距離空間上のリプシッツ・フリー空間はシュール性質を有するか？
• RQ4 コンパクトな距離空間上のフリー空間に対して、有界近似性質はリプシッツ同型写像に関して安定か？
• RQ5 任意の分離可能なバナッハ空間は、カントール空間に同相なコンパクトな距離空間上のフリー空間の補完部分空間として実現可能か？

主な発見

• 任意の分離可能なバナッハ空間 $X$ に対して、カントール空間に同相なコンパクトな距離空間 $K$ が存在し、$\mathcal{F}(K)$ が $X$ に線形同型な補完部分空間を含む。
• カントール空間に同相なコンパクトな距離空間 $K$ が存在し、$\mathcal{F}(K)$ が近似性質を満たさない。
• カントール空間上に、位相的に同値な距離の非可算族が存在し、それに対応するフリー空間は互いに同型でない。
• 任意の可算コンパクトな距離空間 $K$ のリプシッツ・フリー空間 $\mathcal{F}(K)$ はシュール性質を有する。これは、任意の弱収束列がノルム収束することを意味する。
• 任意の適切な可算距離空間上のフリー空間もシュール性質を有する。これは、コンパクト性の仮定を超えて結果を拡張している。
• 構成により、$K$ が可算かつコンパクトであるとき、$\mathcal{F}(K)$ は双対空間に等長同型であり、またメトリック近似性質を有する。