[論文レビュー] Approximation and stability of solutions of SDEs driven by a symmetric \alpha\ stable process with non-Lipschitz coefficients

Hiroya Hashimoto|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非リプシッツ係数を有する対称的 $\alpha$-安定過程（1 < \alpha < 2）によって駆動される確率微分方程式（SDEs）に対して、Euler-Maruyama近似とパスワイズ安定性を確立する。Komatsuの条件のもとで、$\beta \in (1,\alpha)$ に対して $L^\beta$-ノルムにおける収束を証明し、強い解の存在を示す。Belfadli-Ouknineの条件のもとで、さらに $\beta < \alpha$ に対して $L^\beta$-ノルムにおけるパスワイズ安定性を確立し、古典的結果を非ブラウン運動的レヴィ過程へ拡張する。

ABSTRACT

Firstly, we investigate Euler-Maruyama approximation for solutions of stochastic differential equations (SDEs) driven by a symmetric \alpha\ stable process under Komatsu condition for coefficients. The approximation implies naturally the existence of strong solutions. Secondly, we study the stability of solutions under Komatsu condition, and also discuss it under Belfadli-Ouknine condition.

研究の動機と目的

• 対称的 $\alpha$-安定過程によって駆動され、非リプシッツ係数を有するSDEの強い解の存在を確立すること。
• 非ブラウン運動的レヴィ過程によって駆動されるSDEsに、Euler-Maruyama近似法を拡張すること。
• 非リプシッツ条件のもとで $\alpha$-安定ノイズの文脈において、解のパスワイズ安定性を調査すること。
• ブラウン運動SDEsに関する古典的安定性および近似結果を $\alpha$-安定過程へ一般化すること。
• 重い尾を持つレヴィノイズを伴うSDEsにおける数値的手法および安定性解析の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 対称的 $\alpha$-安定過程によって駆動されるSDEの解の近似に、Euler-Maruyamaスキームを用いる。
• パスワイズ一意性と安定性を保証する非リプシッツ係数条件として、Komatsuの条件を適用する。
• サンプルパスの増分を制御するために、Emeryの不等式、Burkholder-Davis-Gundyの不等式、およびDoobの最大不等式を用いる。
• 近似誤差における大きな逸脱の確率を抑え込むために、Gin\'e-Marcus不等式を用いる。
• 連続性モジュラス $\rho$ を含む期待値の収束を扱うために、Lebesgueの優越収束定理を適用する。
• 滑らかな近似を用いて伊藤の公式を適用するため、関数 $u_m = |\cdot|^{\alpha-1} * \phi_m$ を導入し、解の差の $L^{\alpha-1}$-ノルムを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ係数を有する対称的 $\alpha$-安定過程によって駆動されるSDEsに対して、Euler-Maruyamaスキームが $L^\beta$-ノルムにおいて真の解に収束するか？（$\beta \in (1,\alpha)$）
• RQ2 Komatsuの条件のもとで、$\alpha$-安定SDEsに対してパスワイズ一意性と強い解の存在が確立できるか？
• RQ3 ステップサイズが0に近づくとき、Komatsuの条件のもとで解はパスワイズ的に安定か？
• RQ4 Belfadli-Ouknineの条件は、$\beta < \alpha$ に対して $L^\beta$-ノルムにおける解の安定性にどのように影響するか？
• RQ5 Belfadli-Ouknineの条件のもとで、近似誤差の収束性および一様可積分性を確立できるか？

主な発見

• Komatsuの条件のもとで、メッシュサイズ $\|\Delta\| \to 0$ のとき、Euler-Maruyama近似は任意の $\beta \in (1,\alpha)$ に対して真の解に $L^\beta$-ノルムで収束する。
• 収束結果は、対称的 $\alpha$-安定過程によって駆動されるSDEの強い解の存在を示唆する。
• Komatsuの条件のもとで、解のパスワイズ安定性が確立され、$\sup_{0 \leq t \leq T} |X_n(t) - X(t)| \to 0$ が確率的に成り立ち、$\beta$-次のモーメントの一様可積分性が保証される。
• Belfadli-Ouknineの条件のもとで、任意の $\beta < \alpha$ に対して、解の系列 $X_n(t)$ は $X(t)$ に $L^\beta$-ノルムで収束し、$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\sup_{0 \leq t \leq T} |X_n(t) - X(t)|^\beta] = 0$ が成り立つ。
• 証明は、解の差の滑らか化された $L^{\alpha-1}$-ノルムと、$\alpha$-安定過程の遷移密度による推定に依存する。
• 初期条件の収束 $\mathbb{E}[|X_n(0) - X(0)|^\alpha] \to 0$ が、解パスの $L^\beta$-安定性を保証する十分条件であることが示された。