[論文レビュー] Approximation by Fourier sums in classes of differentiable functions with high exponents of smoothness

A. S. Serdyuk, И. В. Соколенко|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Mathematical Approximation and Integration参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかさパラメータ $r$ が次数 $n$ に対して急速に増加する条件 $r/n \to \infty$ の下で、Weyl-Nagy 現象 $W^r_{\beta,p}$ の関数の三角級数による最良近似の、一様ノルムおよび $L_p$ ノルムにおける漸近的等式を確立する。既存の結果を一般化し、$\cos t$ の $L_{p'}$ ノルムと指数的に減衰する剰余項を含む精密な漸近公式を導出し、$r$、$n$、$\beta$ 全体にわたって一様に成り立つ。$p=\infty$ および $p=1$ の既知の推定値をすべての $1\leq p\leq\infty$ に拡張する。主な貢献は、高滑らかさ領域における統一的な漸近的枠組みの確立である。

ABSTRACT

We find asymptotic equalities for the exact upper bounds of approximations by Fourier sums of Weyl-Nagy classes $W^r_{β,p}, 1\le p\le\infty,$ for rapidly growing exponents of smoothness $r$ $(r/n ightarrow\infty)$ in the uniform metric. We obtain similar estimates for approximations of the classes $W^r_{β,1}$ in metrics of the spaces $L_p, 1\le p\le\infty$.

研究の動機と目的

• Weyl-Nagy 現象 $W^r_{\beta,p}$ の関数の三角級数による最良近似の、一様ノルムおよび $L_p$ ノルムにおける漸近的等式を導出すること。
• 既存の $p=1$ および $p=\infty$ の漸近的推定値を、$1\leq p\leq\infty$ の全範囲に拡張すること。
• $r$ が $n$ に対して急速に増加する場合（$r/n \to \infty$）の近似誤差における剰余項の挙動を分析すること。
• 漸近展開における剰余項の $r$、$n$、$\beta$ にわたる一様な境界を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、Weyl-Nagy 現象を Weyl-Nagy 核 $B_{r,\beta}(t)$ との畳み込みとして表現する。$f = \frac{a_0}{2} + \frac{1}{\pi}\int \varphi(x-t) B_{r,\beta}(t) dt$ であり、$\varphi \in U_p^0$ である。
• Banach空間における最良近似理論を用い、$1/p + 1/p' = 1$ を通じて $L_p$ と $L_{p'}$ ノルムの双対性を活用する。
• 主な技術的道具は、$\varepsilon_n(W^r_{\beta,p})_X$ の近似誤差に対する一般化された推定式であり、$\cos t$ の $L_{p'}$ ノルムと、$\sum_{k=n+1}^\infty k^{-r}$ を含む剰余項で表される。
• 証明は、積分表現および Hurwitz ゼータ関数の漸近的解析（特に $p=2$ の場合）に依拠し、一般形の妥当性を検証する。
• 著者たちは、$\beta_k \equiv \beta$ のとき $W^r_{\beta,p}$ が特殊ケースとなるような列 $\bar{\beta} = \{\beta_k\}$ で定義されるクラスについて、一般の漸近公式を導出する。
• 著者たちは、$r/n \to \infty$ の下で、剰余項 $O(1)(1+1/n)^{-r}$ が消えることを示し、漸近的等式が成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様ノルムにおいて、$r/n \to \infty$ のとき、$W^r_{\beta,p}$ の関数の最良近似の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 $p=\infty$ の場合に既知の推定値を $p=1$ に拡張し、$W^r_{\beta,1}$ の $L_p$ ノルムにおける近似誤差はどのように振る舞うか？
• RQ3 $p=1$ および $p=\infty$ の既存の漸近的推定値における剰余項を、すべての $1\leq p\leq\infty$ に一様に有界かつ一般化できるか？
• RQ4 一般の $p$ に対して、近似誤差の主要項を決定する $\cos t$ の $L_{p'}$ ノルムの役割は何か？
• RQ5 剰余項が無視可能になり、推定値が漸近的等式に変わる条件は何か？

主な発見

• $1\leq p\leq\infty$、$r\geq n+1$、$\beta\in\mathbb{R}$ の下で、一様ノルムにおける最良近似は $\varepsilon_n(W^r_{\beta,p})_C = \frac{\|\cos t\|_{p'}}{\pi n^r} + O(1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-r}$ を満たす。ここで $O(1)$ は一様に有界である。
• $W^r_{\beta,1}$ の $L_p$ ノルムにおける近似誤差は $\varepsilon_n(W^r_{\beta,1})_{L_p} = \frac{\|\cos t\|_p}{\pi n^r} + O(1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-r}$ であり、剰余項の有界性は同じである。
• $r/n \to \infty$ のとき、剰余項 $O(1)(1+1/n)^{-r} \to 0$ となるため、推定値は漸近的等式に変わる。
• $p=2$ の場合、結果は $\varepsilon_n(W^r_{\bar{\beta},2})_C = \varepsilon_n(W^r_{\bar{\beta},1})_{L_2} = \frac{1}{\sqrt{\pi} n^r} + O(1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-r}$ に特化し、既知の $L_2$ ノルム結果と整合性を示す。
• 漸近公式は $r$、$n$、$\beta$ 全体にわたって一様に成り立ち、先行研究で用いられるより強い条件 $\psi(k+1)/\psi(k) \to 0$ を必要としない。
• 主要項 $\|\cos t\|_p / \pi$ は、$p=\infty$ のとき既知の $4/\pi^2$ 要素と $p=1$ のときの $4/\pi$ 要素を一般化し、$p$ に対して連続的な依存性を示している。