[論文レビュー] Approximation by generalized Szasz operators involving Sheffer polynomials

M. ‎Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、シェファード多項式を用いたクロドウスキー型一般化されたシャツォシュ作用素の導入を行い、コロフキンの定理を用いて収束性を確立し、2階のモジュラス連続性およびピートレのK関数を用いて収束速度を推定している。さらに、ガジエフとアラルによって導入された新しい重み付きモジュラス連続性を用いて重み付き空間における近似を分析し、数値例および図的検証を通じて、古典的作用素よりも優れた収束性を示している。

ABSTRACT

The purpose of this article is to give a Chlodowsky type generalization of Szasz operators defined by means of the Sheffer type polynomials. We obtain convergence properties of our operators with the help of Korovkin's theorem and the order of convergence by using a classical approach, the second order modulus of continuity and Peetre's K-functional. Moreover, we study the convergence of these operators in a weighted space of functions on a positive semi-axis and estimate the approximation by using a new type of weighted modulus of continuity introduced by Gadjiev and Aral in [12]. An algorithm is also given to plot graphical examples, and we have shown the convergence of these operators towards the function and these examples can be take as a comparison between the new operators with the previous one too. Finally, some numerical examples are also given.

研究の動機と目的

• 正の半直線上でのより良い近似を目的として、シーファード多項式に基づく一般化シャツォシュ作用素のクロドウスキー型一般化を構築すること。
• コロフキンの定理を用いて局所的近似性質を確立し、古典的手法、2階モジュラス連続性、ピートレのK関数を用いて収束速度を定量化すること。
• ガジエフとアラルによって導入された新しい重み付きモジュラス連続性を用いて、[0, ∞) 上の関数の重み付き空間における収束を調査すること。
• 収束の可視化のためのアルゴリズムを提供し、グラフィカルおよび数値的例を通じて、新しい作用素と古典的作用素を比較すること。
• モジュラス連続性を用いて特定のテスト関数の誤差境界を推定し、nの増加に伴う数値的性能を示すこと。

提案手法

• 生成関数 $ A(t)e^{xH(t)} = \sum_{k=0}^\infty p_k(x)t^k $ を用いたシーファード多項式に基づく新しい作用素 $ T_n^*(f;x) $ を提案し、$ \lim_{n\to\infty} b_n = \infty $ かつ $ \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n} = 0 $ を満たす列 $ b_n $ を組み込む。
• 関数 $ f \in C_E[0,\infty) $ に対して、$ e_0, e_1, e_2 $ のモーメント推定を用いて、コロフキンの定理を適用し、$ T_n^* $ の点収束を証明する。
• 2階モジュラス連続性 $ \omega_2(f;\delta) $ およびピートレのK関数 $ K(f;\delta) $ を用いて収束速度を推定し、$ \frac{b_n}{n} $ および $ \frac{b_n^2}{n^2} $ を用いた境界を導出する。
• ガジエフとアラルによって導入された新しい重み付きモジュラス連続性を用いて、重み付き空間 $ C_\rho^k(\mathbb{R}_0^+) $ における収束を分析し、重み関数 $ \rho(x) = 1 + x^2 $ を使用する。
• 重み付きノルム $ \| \cdot \|_{\rho^4 \psi} $ における誤差境界を導出し、$ n \to \infty $ のときゼロに収束することを示し、$ \alpha_n, \beta_n, \gamma_n $ の明示的表現を得る。
• テスト関数の近似における $ T_n^* $ の図的例を生成するためのアルゴリズムを開発し、古典的作用素との視覚的比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的作用素は、正の半直線上での近似を目的として、シーファード多項式を用いたクロドウスキー型設定でどのように一般化できるか？
• RQ2 提案された一般化作用素の収束速度は何か？ そして、古典的手法および関数解析的ツールを用いて、どのように定量化できるか？
• RQ3 新しい作用素は正の半直線上の関数の重み付き空間でどのように性能を発揮するか？ また、この分析における新しい重み付きモジュラス連続性の役割は何か？
• RQ4 提案された作用素は、視覚的および数値的検証を通じて、古典的作用素やジャキモフスキー＝レヴィアタン作用素よりも優れた収束を示せるか？
• RQ5 特定のテスト関数に対する明示的な誤差境界は何か？ そして、nの増加に伴ってどのように減少するか？

主な発見

• コロフキンの定理とモーメント推定を用いて、すべての $ f \in C_E[0,\infty) $ に対して、提案されたクロドウスキー型作用素 $ T_n^* $ が点収束して $ f $ に収束することが確認された。
• 2階モジュラス連続性を用いて収束速度が $ O\left(\sqrt{\frac{b_n}{n}}\right) $ と推定され、$ H''(1) $ および $ A(t) $ の微分係数に明示的な依存関係を示した。
• 重み付き空間 $ C\rho^k(\mathbb{R}_0^+) $ において、近似誤差は $ \|T_n^*(f) - f\|_{\rho^4 \psi} \leq 16\Omega_\rho\left(f,\sqrt{\alpha_n + 2\beta_n + \gamma_n}\right) + \alpha_n\|f\|_\rho $ を満たし、$ n \to \infty $ のとき $ \alpha_n, \beta_n, \gamma_n \to 0 $ となる。
• 関数 $ f(x) = -4xe^{-3x} $ の数値結果では、$ n = 10 $ で誤差が 0.948 から $ n = 10^{19} $ で $ 1.42 \times 10^{-4} $ にまで減少し、急速な収束が確認された。
• 提案されたアルゴリズムにより生成された図的例は、新しい作用素が古典的作用素よりも速く滑らかに収束することを視覚的に確認した。
• さまざまなシーファード列（例：$ \{(1+x)^k\} $ および $ \{x^{k-1}\} $）において誤差境界が一貫しており、一般化フレームワークの堅牢性が示された。