[論文レビュー] Approximation by Quantum Circuits

Emanuel Knill|ArXiv.org|Aug 8, 1995

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 141

ひとこと要約

この論文は、固定サイズの量子ゲートを用いた量子回路の近似能力に関する強い下界を確立し、ほぼすべてのユニタリ操作、状態、密度行列が指数的数のゲートを必要とするということを証明している。また、確率的かつ検証可能な古典的問題に対しても、量子回路では指数的困難であることが示され、小さなゲート集合による多項式時間近似の可能性を否定している。

ABSTRACT

In a recent preprint by Deutsch et al. [1995] the authors suggest the possibility of polynomial approximability of arbitrary unitary operations on $n$ qubits by 2-qubit unitary operations. We address that comment by proving strong lower bounds on the approximation capabilities of g-qubit unitary operations for fixed g. We consider approximation of unitary operations on subspaces as well as approximation of states and of density matrices by quantum circuits in several natural metrics. The ability of quantum circuits to probabilistically solve decision problem and guess checkable functions is discussed. We also address exact unitary representation by reducing the upper bound by a factor of n^2 and by formalizing the argument given by Barenco et al. [1995] for the lower bound. The overall conclusion is that almost all problems are hard to solve with quantum circuits.

研究の動機と目的

• ユニタリ操作、状態、密度行列の近似における最悪ケースの量子回路複雑度を調査すること。
• n qubit 上の任意のユニタリ操作が、2量子ビットゲートのみを用いて効率的に近似可能であるという予想に挑戦すること。
• 有界サイズの量子回路が解ける古典的意思決定問題および検証可能な問題の数を定量化すること。
• 量子回路における正確および近似されたユニタリ表現の下界を形式化し、改善すること。

提案手法

• ヒルベルト空間における数え上げ的議論を用いて、サイズが制限された量子回路が近似可能な状態やユニタリ操作の数を制限する。
• 全変動距離とヒルベルト＝シュミットノルムを用いて、密度行列および量子状態の近似の質を測定する。
• 高次元ヒルベルト空間上の球面上に測度論的技法を適用し、近似集合の体積を制限する。
• 正確なユニタリ表現の上界を n 倍小さくすることで、先行研究を改善する。
• 特異値分解とユニタリ同値性を用いて、行列近似を状態および操作の忠実度に結びつける。
• 確率的および検証可能な関数計算を分析し、有界サイズの量子回路が解ける問題の数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された g に対して、n 量子ビット上の任意のユニタリ操作は、g-キュービットゲートのみを用いて効率的に近似可能か？
• RQ2 有界サイズの量子回路は、与えられた状態や密度行列を何個まで近似できるか？
• RQ3 古典的意思決定問題または検証可能な問題のうち、固定されたゲート数を持つ量子回路で解ける割合はどの程度か？
• RQ4 ランダムな量子状態やユニタリ操作を近似するために必要な最小のゲート数は何か？
• RQ5 最悪ケースにおいて、量子回路の近似能力は古典的回路複雑度と比べてどうか？

主な発見

• 任意のサブ指数的数のゲートを用いた量子回路では、ほぼすべての量子状態がランダムより良く近似できない。
• D ⊆ {0,1}^n から {0,1} への関数で、g-ゲート量子回路が優位性 q で当てずっぽうできるものの数は、(4q)^D × (4√(qb))^(b·n₀/g) 未満であり、指数的困難性を示している。
• 正確なユニタリ表現の上界が n 倍小さくされ、先行研究が改善された。
• 全変動距離を用いた密度行列近似において、最適でないが強い下界が確立された。
• ある状態から別の状態の近似に変換する最小の量子回路は、ほぼすべての状態ペアに対して指数的数のゲートを必要とする。
• 確率的および検証可能な古典的問題は、量子回路にとって指数的困難である。つまり、有界サイズの回路で解ける問題はごくわずかにとどまる。