[論文レビュー] Approximation diophantienne dans les corps de series en plusieurs variables

Guillaume Rond|ArXiv.org|May 31, 2005

Numerical Methods and Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複数変数のべき級数環におけるディオファントス近似定理を確立し、その環の完備化における代数的要素が、分母の付値のべきのオーダーで有理近似から離れていることを証明する。この結果により、べき級数環上の2変数斉次多項式のアーティン関数がアフィン関数によって有界であることが示され、特異点論における未解決問題を解決するとともに、弧空間上におけるロジャシエフィッツ型不等式と関連づけられる。

ABSTRACT

We give here a result of diophantine approximation between $Ø_N$, the ring of power series in several variables, and the completion of the valuation ring that dominates $Ø_N$ for the $\m$-adic topology. We deduce from this that the Artin function of a homogenous polynomial in two variables is bounded by an affine function, which can be interpreted in term of a Lojasiewicz inequality on the wedges space.

研究の動機と目的

• 多変数べき級数環における可除性の不成立が、弧の上げ上げや特異点論におけるコインの問題を妨げるという事実を扱う。
• 多変数べき級数環におけるイデアルのアーティン関数の挙動を研究し、特にそれがアフィン関数によって有界でない場合を対象とする。
• m-adic位相におけるべき級数環とその完備化との間のディオファントス近似結果を確立する。
• この近似結果を応用して、2変数における斉次多項式のアーティン関数がアフィン関数によって有界であることを証明する。
• 弧空間におけるウェッジ空間上でのロジャシエフィッツ型不等式を用いた幾何的解釈を提供する。

提案手法

• N変数の形式的または収束べき級数環におけるm-adic位相の使用。
• べき級数環O_Nと、それを支配する付値環の完備化との比較。後者はある体Kに対してK[[T]]に同型である。
• ディオファントス近似定理の応用：O_Nに属さない完備化内の代数的要素zに対して、a ≥ 1およびK ≥ 0を満たす定数が存在し、すべてのx,y ∈ O_Nに対して|z - x/y| ≥ K|y|^aが成り立つ。
• Artin-Rees補題を用いて、環O_N内での近似の順序を制御する。
• 多項式Qの根の順序推定と付値の上限を用いて、アーティン関数問題を完備化内でのQの根の研究に還元する。
• ディオファントス近似の上限と付値論的推定を組み合わせることで、アーティン関数に対するアフィン上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数べき級数環上での2変数斉次多項式のアーティン関数は、高次元では有界でないにもかかわらず、アフィン関数によって有界にできるか？
• RQ2 多変数べき級数環とそのm-adic完備化との間のディオファントス近似のギャップの正確な性質は何か？
• RQ3 多変数環における可除性の欠如は、特異点論における弧やコインの上げ上げにどのように影響するか？
• RQ4 Artin-Rees補題は、付値環でない環における近似をどの程度制御できるか？
• RQ5 べき級数環におけるディオファントス近似から、弧空間上におけるロジャシエフィッツ型不等式を導出できるか？

主な発見

• 本稿はディオファントス近似定理を証明する：O_Nのm-adic完備化に属するがO_Nに属さない任意の代数的要素zに対して、a ≥ 1およびK ≥ 0を満たす定数が存在し、すべてのx,y ∈ O_Nに対して|z - x/y| ≥ K|y|^aが成り立つ。
• O_Nに係数をもつ斉次多項式P(X,Y)のアーティン関数は、λ ≤ dであるようなアフィン関数i ↦ λi + μによって有界である。ここでdはPの次数である。
• この有界性は、ディオファントス近似結果と、完備化内での関連多項式Qの根に関する付値推定を組み合わせることで生じる。
• 証明ではArtin-Rees補題を用いて、O_N内の近似解をm-adic位相において正確な解に持ち上げる。
• この結果により、多変数の底環であっても、2変数における斉次多項式のアーティン関数がアフィン有界のままであることが確認される。
• 鍵となる洞察は、多変数環における可除性の欠如が、ディオファントス近似によって制御可能であり、その結果としてアーティン関数の有界性が保証されることである。