[論文レビュー] Approximation hardness of Shortest Common Superstring variants

Yun William Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、短い共通スーパー文字列（SCS）問題の変種である負の文字列を含むSCS（SCSN）および負の文字列とワイルドカードを含むSCS（SCSNW）に対する新たな近似困難性結果を確立している。SCSNはLog-APX-hard（したがってLog-APX-complete）であることが証明され、SCSNWはNPOPB-hardであることが示された。これらの結果は、それぞれ最小集合被覆問題および最小1の3SAT問題からの還元を用いて得られ、ゲノムアセンブリ関連の文字列問題における近似困難性の理解を拡張した。

ABSTRACT

The shortest common superstring (SCS) problem has been studied at great length because of its connections to the de novo assembly problem in computational genomics. The base problem is APX-complete, but several generalizations of the problem have also been studied. In particular, previous results include that SCS with Negative strings (SCSN) is in Log-APX (though there is no known hardness result) and SCS with Wildcards (SCSW) is Poly-APX-hard. Here, we prove two new hardness results: (1) SCSN is Log-APX-hard (and therefore Log-APX-complete) by a reduction from Minimum Set Cover and (2) SCS with Negative strings and Wildcards (SCSNW) is NPOPB-hard by a reduction from Minimum Ones 3SAT.

研究の動機と目的

• 計算ゲノムティクスに関連する問題として重要な、負の文字列およびワイルドカードを含むSCS変種のより強い近似不可能性の境界を確立すること。
• 特にSCSNおよびSCSNWについて、先行する困難性結果が不明または不完全であった複雑性の地図におけるギャップを埋めること。
• 従来のNP困難問題（例えば頂点被覆や彩色数）からの還元を、負の文字列およびワイルドカードを含むSCS変種へと拡張すること。
• SCSNWがSCSNよりも顕著に難しいことを示し、SCSNはLog-APXに属するが、SCSNWはNPOPB-hardであることを示すこと。

提案手法

• SCSNがLog-APX-hardであることを示すために、最小集合被覆問題からの還元が用いられ、先行のSCS還元で使われた重複する文字列ガジェットを再利用した。
• SCSNWがNPOPB-hardであることを示すために、最小1の3SAT問題からの新しい還元が構築され、ワイルドカードおよび負の文字列を用いた特別なフレーム、変数、および節ガジェットが使用された。
• フレームガジェットは、負の文字列を用いてスーパー文字列における構造的制約（例えば、特定の文字で始まるようにすること、および変数ガジェットが適切に整列されていないと重複を避けること）を強制する。
• 変数ガジェットは、変数をtrueに設定すると、その全文字列が右にシフトし、1つの変数あたり長さコスト3nが発生するように設計されており、trueの変数数を最小化する目的を反映している。
• 節ガジェットは、負の文字列を用いて、節内のすべてのリテラルがfalseであるような状態を禁止し、少なくとも1つの変数がtrueであるようにすることで節を充足することを保証する。
• 全体の構成は多項式時間内に行われ、L還元に正規化されており、元の問題の近似困難性が保持されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SCSに負の文字列が含まれる（SCSN）場合、SCSNがLog-APXに属することは既知であるが、Log-APX-hardであるか？
• RQ2 SCSに負の文字列とワイルドカードの両方が含まれる（SCSNW）場合、SCSNWの近似可能クラスは何か？（SCSWがPoly-APX-hardであり、SCSNがLog-APXに属することは既知である。）
• RQ3 SCSNWの困難性は、既知の困難な問題（例えば最小1の3SAT）からの還元によって確立可能か？
• RQ4 負の文字列とワイルドカードの組み合わせは、それぞれ単独で持つ特徴よりもはるかに複雑性が高いか？
• RQ5 SCSNにワイルドカードが存在する場合、より強い困難性結果が得られるか、それとも問題は依然としてLog-APX内に解けるのか？

主な発見

• SCSNはLog-APX-hardであり、既にSCSNがLog-APXに属することは知られているため、SCSNはLog-APX-completeである。
• SCSNWはNPOPB-hardであり、これはNPOPB複雑性クラスにおける最も困難な問題の一つであることを示している。
• 最小1の3SAT問題からSCSNWへの還元はL還元であるため、近似困難性が保持され、SCSNWがNPOPB-hardであることが確認された。
• SCSNWインスタンスの構築にはO(n⁵)の操作が必要であり、定数サイズのアルファベット（サイズ4）が使用され、負の文字列およびワイルドカードが制約を強制するように適切に配置された。
• SCSNWインスタンスにおけるスーパー文字列の長さは2 + 9n + 3nWであり、ここでWは最小1の3SAT解における真の変数の数を表す。これは、解のコストとスーパー文字列の長さの間の直接的な対応関係を示している。
• 証明により、SCSNWはSCSNよりも顕著に難しいことが示された。SCSNWの還元には、1文字列あたりΩ(n)のワイルドカードが必要であり、これはSCSNでは同じ制約下で模倣できない。