[論文レビュー] Approximation in $AC(σ)$

Ian Doust, Michael Leinert+1 more|UNSWorks (University of New South Wales, Sydney, Australia)|Dec 6, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンパクト集合 $\sigma \subset \mathbb{R}^2$ 上の絶対連続関数の空間 $AC(\sigma)$ において、$C^1(\sigma)$（連続的に微分可能な関数の空間）および $\mathrm{CTPP}(\sigma)$（連続的区分的平面関数の空間）がそれぞれ稠密であることを確立する。著者らは、変動ノルムを用いた多項式近似および区分的平面関数近似により、$AC[0,1]$ における古典的結果を2次元設定に拡張する。

ABSTRACT

For a nonempty compact subset $σ$ in the plane, the space $AC(σ)$ is the closure of the space of complex polynomials in two real variables under a particular variation norm. In the classical setting, $AC[0,1]$ contains several other useful dense subsets, such as continuous piecewise linear functions, $C^1$ functions and Lipschitz functions. In this paper we examine analogues of these results in this more general setting.

研究の動機と目的

• コンパクト集合 $\sigma\subset\mathbb{R}^2$ における $AC(\sigma)$ の多変数設定に、$AC[0,1]$ における古典的近似結果を拡張すること。
• 標準的な稠密部分集合（$C^1(\sigma)$、リプシッツ関数、連続的区分的線形関数）が $AC(\sigma)$ において類似物を持つかどうかを調査すること。
• 変動ノルムの下で $C^1(\sigma)$ および $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ が $AC(\sigma)$ に稠密であることを確立すること。

提案手法

• 変動ノルム $\|f\|_{BV(\sigma)} = \|f\|_\infty + \operatorname{var}(f,\sigma)$ を定義する。ここで $\operatorname{var}(f,\sigma)$ は、有限リスト $S\subset\sigma$ に対する $\operatorname{cvar}(f,S)/\operatorname{vf}(S)$ の上界である。
• $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ を、$[0,1]$ 上の区分的線形関数の2次元版として、$\sigma$ 上の連続的区分的平面関数の空間として導入する。
• 絶対連続性の局所的性質を用いて、グローバルな近似をコンパクト近傍上の局所的近似に還元する。
• 三角形上で平均値の定理およびロルの定理を適用し、$C^1$ 関数とその区分的平面補間との差を評価する。
• 多項式が $AC(\sigma)$ に稠密であるという事実を活用し、区分的平面関数による近似を用いて、$\mathrm{CTPP}(\sigma)$ および $C^1(\sigma)$ の稠密性を示す。
• 実部と虚部に分けて複素数値関数に結果を拡張し、同じ近似技法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^1(\sigma)$ 関数は、コンパクト集合 $\sigma\subset\mathbb{R}^2$ に対して、$BV(\sigma)$ ノルムで $AC(\sigma)$ 内のより単純な関数によって近似可能か？
• RQ2 $AC(\sigma)$ に稠密な2次元版の連続的区分的線形関数が存在するか？
• RQ3 $AC[0,1]$ における古典的近似結果は、$AC(\sigma)$ の多変数設定に拡張可能か？
• RQ4 $C^1(\sigma)$ 関数は、変動ノルムにおいて区分的平面関数によって近似可能か？
• RQ5 複素数値関数の $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ および $C^1(\sigma)$ は、$AC(\sigma)$ に稠密か？

主な発見

• 変動ノルムの下で $C^1(\sigma)$ は $AC(\sigma)$ に稠密であり、$AC[0,1]$ における古典的結果をコンパクト平面集合へ拡張する。
• $\mathrm{CTPP}(\sigma)$（連続的区分的平面関数の空間）は $AC(\sigma)$ に稠密であり、区分的線形近似の自然な多変数版を提供する。
• 任意の $f\in AC(\sigma)$ と $\varepsilon>0$ に対して、$\|f-g\|_{BV(\sigma)}<\varepsilon$ を満たす $g\in\mathrm{CTPP}(\sigma)$ が存在し、その明示的評価は三角形上での局所的近似から導かれる。
• 同様の近似結果は、複素数値関数 $AC(\sigma)$ に対しても成り立ち、実部と虚部がともに $\mathrm{CTPP}(\sigma)$ 関数で近似可能であるため。
• 変動ノルムにより、局所的からグローバルな議論が可能である：$\sigma$ の各点の近傍で絶対連続であれば、その関数は $AC(\sigma)$ に属する。
• $C^1(\sigma)$ が $AC(\sigma)$ に稠密であることは、多項式が $AC(\sigma)$ に稠密であり、$C^1(\sigma)$ がすべての多項式を含むという事実から導かれる。