[論文レビュー] Approximation in C^N

N. Levenberg|ArXiv.org|Nov 8, 2006

Mathematical functions and polynomials参考文献 42被引用数 34

ひとこと要約

本調査は、複素数空間 ℂ^N における近似理論を、複素変数の関数論の道具を用いて探求し、多項式近似、擬補調関数、複素 Monge-Ampère 細胞の観点から考察する。主な貢献は、非多様的コンパクト集合 K に対して、L-極値関数 V_K^* の Monge-Ampère 測度 (dd^c V_K^*)^N が、古典的結果を ℂ から高次元に一般化した自然な平衡測度として機能することを確立したことである。

ABSTRACT

This is a survey article on selected topics in approximation theory. The topics either use techniques from the theory of several complex variables or arise in the study of the subject. The survey is aimed at readers having an acquaintance with standard results in classical approximation theory and complex analysis but no apriori knowledge of several complex variables is assumed.

研究の動機と目的

• 複素数変数の技法を用いて、ℂ からの古典的近似理論の結果を ℂ^N に拡張すること。
• K ⊂ ℂ^N に対して、K の近傍で正則な関数が K 上で多項式によって一様近似可能であるようなコンパクト集合 K を特徴付けること。
• L-極値関数 V_K^* 及びその Monge-Ampère 測度 (dd^c V_K^*)^N が、高次元複素近似における自然な平衡測度として果たす役割を特定すること。
• ℂ^N における多項式凸性、擬補調関数、および Mergelyan 性質の関係を調査すること。
• 高次元における極値配列、Markov 不等式、および調和近似に関する未解決問題を探索すること。

提案手法

• ℂ^N における部分集合や極値関数をモデル化するため、擬補調関数およびそれらに付随する電流を用いる。
• 複素 Monge-Ampère 細胞 (dd^c)^N を用いて、コンパクト集合 K 上に正の測度 (dd^c V_K^*)^N を定義し、ℂ における平衡測度を高次元に一般化する。
• 最大擬補調関数（(dd^c u)^N = 0 を満たすもの）の概念を用いて、高次元における調和的挙動を特徴付ける。
• K を含む領域 D に対して相対極値関数 ω*(·, K, D) を用い、コンパクト集合上の近似を研究する。
• Stokes の定理および電流論的形式主義を用いて、局所有界擬補調関数 v に対して (dd^c v)^N を定義する。
• Bedford-Taylor 理論などの擬ポテンシャル論の基礎的結果および Range や Hörmander の積分公式に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非多様的コンパクト集合 K ⊂ ℂ^N に対して、K の近傍で正則な関数が K 上で多項式によって一様近似可能となるか？
• RQ2 非多様的コンパクト集合 K ⊂ ℂ^N に対して、Monge-Ampère 測度 (dd^c V_K^*)^N が平衡測度として機能するか？
• RQ3 非多様的コンパクト集合 K ⊂ ℂ^N に対して、Fekete 配列の正規化された離散測度 μ_n が弱-* 収束して (dd^c V_K^*)^N に収束するか？
• RQ4 内部をもつコンパクトな凸集合 K ⊂ ℝ^N （N ≥ 3）で、調和的極値配列が調和関数を一様近似可能となるのはどのような場合か？
• RQ5 コンパクト集合 K ⊂ ℂ^N が Markov 不等式を満たすならば、それが正則または非多様的でなければならないか、また (HCP) 性質を満たすのか？

主な発見

• 任意の非多様的コンパクト集合 K ⊂ ℂ^N に対して、L-極値関数 V_K^* は、K の外部で (dd^c V_K^*)^N = 0 を満たし、補集合で最大性を示す。
• Monge-Ampère 測度 (dd^c V_K^*)^N は、K の平衡測度として機能し、ℂ における Green 関数の平衡測度と類似した役割を果たす。
• 相対極値関数 ω*(·, K, D) は、D \∓ K 内で (dd^c ω*)^N = 0 を満たし、相対近似理論におけるその役割を裏付ける。
• K ⊂ ℂ^N 上で正則関数の多項式による一様近似は、誤差 d_n(f, K) の減衰速度によって特徴付けられ、f が半径 R > 1 の球内で正則ならば limsup d_n(f, K)^{1/n} ≤ 1/R が成り立つ。
• 本論文は、電流論的積分を用いて、局所有界擬補調関数に対して複素 Monge-Ampère 細胞 (dd^c)^N が適切に定義可能であることを確立した。
• 本サーベイは、ℂ^N における多項式凸性および Mergelyan 性質が、極値関数の構造とその Monge-Ampère 測度に深く関係していることを確認した。