[論文レビュー] Approximation Limits of Linear Programs (Beyond Hierarchies)

Gábor Braun, Samuel Fiorini+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、CLIQUES や半定値計画法（SDP）を近似する多項式サイズの線形計画法（LP）のサイズに対する非条件的下界を確立する。近似限界を一意的非交差問題（UDISJ）から導かれる行列の非負ランクに結びつけることで、$O(n^{1/2-\theta})$-近似のCLIQUESに対しては、階層を超えた一般のLPであっても、サイズ $2^{n^{ Omega(\epsilon)}}$ のLPが必要であることを示している。

ABSTRACT

We develop a framework for approximation limits of polynomial-size linear programs from lower bounds on the nonnegative ranks of suitably defined matrices. This framework yields unconditional impossibility results that are applicable to any linear program as opposed to only programs generated by hierarchies. Using our framework, we prove that O(n^{1/2-eps})-approximations for CLIQUE require linear programs of size 2^{n^Ω(eps)}. (This lower bound applies to linear programs using a certain encoding of CLIQUE as a linear optimization problem.) Moreover, we establish a similar result for approximations of semidefinite programs by linear programs. Our main ingredient is a quantitative improvement of Razborov's rectangle corruption lemma for the high error regime, which gives strong lower bounds on the nonnegative rank of certain perturbations of the unique disjointness matrix.

研究の動機と目的

• CLIQUES などのNP困難問題を近似する多項式サイズのLP緩和のサイズに対する非条件的下界を確立すること。
• LPの近似限界を関連する行列の非負ランクの下界に還元する一般枠組みを構築すること。
• この枠組みを半定値計画法（SDP）の拡張形式の近似に拡張し、SDPのLP近似に対しても同様の制限を示すこと。
• これまでの階層ベースの解析の限界を克服し、LPの構成方法にかかわらず、LPのすべてにこの枠組みを適用できることを示すこと。
• 特にCLIQUES や Max CUT のような問題において、特定の近似保証を達成するには、SDP や組合せ的技法などの非LP手法が必要であるという証拠を提供すること。

提案手法

• 多面体 $P$（実行可能解集合）と目的関数符号化 $Q$ のペアから導かれるスラック行列の非負ランクの上限に帰着することで、組合せ最適化問題の近似問題を簡略化する。
• 特にシフトされたUDISJ行列（一意的非交差行列）の高誤差領域における、Razborovの長方形破壊補題の新たな定量的強化を用いる。
• UDISJ行列のすべての要素に正のオフセットを加えたことで得られる行列に、非負ランクの下界を適用し、近似LP緩和をモデル化する。
• 多面体 $P$ と拡大された $\rho Q$ の間にある任意の多面体 $K$ は、$P$ と $\rho Q$ のスラック行列の非負ランク以上に拡張複雑度を持つ必要があることを確立する。
• 既知のUDISJにおける通信複雑度の下界を活用し、非負ランクの下界を導出し、それが指数的LPサイズの下界を示唆することを示す。
• この枠組みをCLIQUESおよびSDP近似の両方の文脈に適用し、$\rho$ が定数であれば、そのような多面体緩和の拡張複雑度は $2^{\Omega(n)}$ 以上であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階層構造に依存しない、CLIQUES を近似する多項式サイズのLP緩和のサイズに対する非条件的下界を証明できるか？
• RQ2 CLIQUES に対して非自明な近似比を達成するLP緩和の最小の拡張複雑度は何か？
• RQ3 Max CUT の文脈において、LPの近似限界とSDPの近似限界はどのように比較できるか？
• RQ4 シフトされたUDISJ行列の非負ランクの下界を用いて、組合せ最適化問題に対する強い不近似性結果を導けるか？
• RQ5 SDPを近似するLPに固有の制限は存在するのか。もしあるならば、定量的なトレードオフは何か？

主な発見

• CLIQUES に対して $O(n^{1/2-\epsilon})$-近似を達成する任意の多項式サイズのLP緩和は、階層に依存しない一般のLPであっても、サイズ $2^{n^{\Omega(\epsilon)}}$ を必要とする。
• この枠組みは、lift-and-project階層によって生成されるLPに限らず、任意のLP緩和に非条件的に適用可能であり、非負ランクの下界に帰着することで問題を簡略化する。
• スレートヒューラの多面体近似において $\rho$ が定数であれば、そのような多面体緩和の拡張複雑度は $2^{\Omega(n)}$ 以上である。
• $\rho = O(n^\beta)$ で $\beta < 1/2$ の場合、そのような緩和の拡張複雑度は $2^{\Omega(n^{1-2\beta})}$ 以上であり、近似比とLPサイズの間のトレードオフを示している。
• この論文は、Max CUT のような問題において、特定の近似保証を達成するには多項式サイズのLPでは不可能であり、SDPに基づくアルゴリズムとは対照的であるという強い証拠を提供する。
• 結果から、CLIQUES や Max CUT のような問題に対して良い近似比を達成するには、非LP手法（SDP や組合せ的技法）が不可欠であると考えられる。