[論文レビュー] Approximation of BEM matrices using GPGPUs

Steffen Börm, Sven Christophersen|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Electromagnetic Scattering and Analysis被引用数 8

ひとこと要約

この論文では、3次元ラプラスおよびヘルムホルツ方程式の境界要素法（BEM）行列の構築を高速化するため、ベクトル化可能な近接場計算と遠方場圧縮部をコンsumer GPGPUにオフロードするハイブリッドCPU-GPUアルゴリズムを提案している。これにより、4コアCPUと比較して、セットアップ時間に19〜30倍の高速化が達成された。

ABSTRACT

The efficiency of boundary element methods depends crucially on the time required for setting up the stiffness matrix. The far-field part of the matrix can be approximated by compression schemes like the fast multipole method or $\mathcal{H}$-matrix techniques. The near-field part is typically approximated by special quadrature rules like the Sauter-Schwab technique that can handle the singular integrals appearing in the diagonal and near-diagonal matrix elements. Since computing one element of the matrix requires only a small amount of data but a fairly large number of operations, we propose to use GPUs to handle vectorizable portions of the computation: near-field computations are ideally suited for vectorization and can therefore be handled very well by GPUs. Modern far-field compression schemes can be split into a small adaptive portion that exhibits divergent control flows and is handled by the CPU and a vectorizable portion that can again be sent to GPUs. We propose a hybrid algorithm that splits the computation into tasks for CPUs and GPUs. Our method presented in this article is able to speedup the setup time of boundary integral operators by a significant factor of 19-30 for both the Laplace and the Helmholtz equation in 3D when using two consumer GPGPUs compared to a quad-core CPU.

研究の動機と目的

• 3次元問題における境界要素法（BEM）の剛性行列構築にかかる高い計算コストに対処すること。
• BEMアプリケーションにおいて性能のボトルネックとなる高価な近接場積分と行列圧縮を克服すること。
• GPUの巨大な並列性を活用して、BEM行列構築のベクトル化可能な部分を高速化し、発散する制御フローはCPUに残すこと。
• CPUとGPUの間で作業を効率的に分割し、精度を損なわずにパフォーマンスを最大化するハイブリッドアルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 近接場行列要素の計算をGPUに割り当て、各要素あたりの高頻度な算術演算を実行する。
• 近接場行列要素に含まれる特異積分を高精度に処理するため、Sauter-Schwab四則法を適用する。
• 遠方場圧縮を2つの部分に分割：発散する制御フローを含む小さな適応的部品はCPUで処理し、ベクトル化可能な部分はGPUにオフロードする。
• 遠方場行列近似に、高速多重極展開法（FMM）またはH行列技術を適用し、ベクトル化可能な部分にGPUアクセラレーションを適用する。
• CPUとGPU間の負荷をバランスさせるハイブリッドタスクスケジューリング戦略を設計し、データ転送のオーバーヘッドを最小限に抑え、スループットを最大化する。
• 実世界の3次元BEMシナリオにおける性能向上を評価するため、2つのコンsumerクラスGPGPUにアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GPUアクセラレーションは、3次元BEMシミュレーションにおける境界積分作用素のセットアップ時間を顕著に短縮できるか？
• RQ2 BEM行列構築において、ハイブリッドCPU-GPUアプローチは、純粋にCPUベースの実装と比較してどの程度優れているか？
• RQ3 BEM行列計算のどの部分がGPUアクセラレーションに最も適しており、効果的に分割できるか？
• RQ4 遠方場圧縮のベクトル化可能な部品をGPUでどの程度高速化できるか、数値的精度を損なわずに行えるか？
• RQ5 ラプラスおよびヘルムホルツ方程式の両方において、4コアCPUと比較して、2つのコンsumer GPGPUを用いることで、行列構築時間にどの程度の高速化が達成できるか？

主な発見

• 提案されたハイブリッドCPU-GPUアルゴリズムは、3次元ラプラスおよびヘルムホルツ方程式の境界積分作用素のセットアップ時間において、4コアCPUと比較して19〜30倍の高速化を達成した。
• 非常にベクトル化可能な近接場行列計算はGPUで効率的に加速され、全体のパフォーマンス向上に大きく貢献した。
• 遠方場圧縮部は、発散する制御フロー部（CPU）とベクトル化可能な部（GPU）に成功裏に分割され、GPUの効率的利用が可能になった。
• Sauter-Schwab法のような確立された四則法を保持することで、高い数値的精度を維持した。
• 性能向上は、ラプラス方程式およびヘルムホルツ方程式の両方で一貫しており、楕円型PDEに広く適用可能であることが示された。
• 専用ハードウェアを必要とせず、コンsumerクラスの2つのGPGPUを用いることで、大幅な高速化が実現可能であり、工学的・科学的計算分野におけるハイパフォーマンスコンピューティングへの実用的応用が可能である。