[論文レビュー] Approximation of chaotic operators

Geng Tian, Luoyi Shi+2 more|ArXiv.org|May 27, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間におけるカオス的作用素の近似および位相的構造を調査し、Li-Yorkeカオスと分布的カオスに焦点を当てる。作用素のノルム位相におけるLi-Yorkeカオス的および分布的カオス的作用素の集合の閉包が一致すること、両者とも空でない内部を持ち、連結であること、さらに超循環的作用素が分布的カオス的作用素の閉包において稠密であることを示している。

ABSTRACT

As well-known, the concept "hypercyclic" in operator theory is the same as the concept "transitive" in dynamical system. Now the class of hypercyclic operators is well studied. Following the idea of research in hypercyclic operators, we consider classes of operators with some kinds of chaotic properties in this article. First of all, the closures of the sets of all Li-Yorke chaotic operators or distributionally chaotic operators are discussed. We give a spectral description of them and prove that the two closures coincide with each other. Moreover, both the set of all Li-Yorke chaotic operators and the set of all distributionally chaotic operators have nonempty interiors which coincide with each other as well. The article also includes the containing relation between the closure of the set of all hypercyclic operators and the closure of the set of all distributionally chaotic operators. Finally, we get connectedness of the sets considered above.

研究の動機と目的

• カオス的作用素の位相的構造、特にLi-Yorkeおよび分布的カオス的作用素の近似理論を用いた研究。
• カオス的作用素が作用素ノルム位相において他のカオス的作用素によって近似可能かどうかを特定すること。
• カオス的作用素の集合の閉包および内部のスペクトル的および構造的性質の分析。
• 作用素近似の文脈における超循環性と分布的カオスの関係の調査。
• 作用素ノルム位相におけるカオス的作用素の集合の連結性の性質の確立。

提案手法

• 作用素理論におけるスペクトル理論および近似技法を用い、特にCowen-Douglas作用素とコンパクトな摂動に注目する。
• ノルム単位的性（norm-unimodality）の概念を適用し、線形作用素における分布的カオスの十分条件を導出する。
• 集合 $\rho_{s-F}^{(+)}(T)$ を用いたスペクトル局所化技術を用い、摂動下でのカオス的性質の安定性を分析する。
• 作用素空間内に連続的経路（弧）を構成し、分布的カオス的作用素の集合の弧状連結性を証明する。
• 後退シフト作用素のスペクトル的性質およびその摂動を用い、連結なカオス的作用素の経路を明示的に構成する。
• Fredholm作用素およびインデックス理論の理論を適用し、微小摂動下でのカオス的挙動の安定性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素ノルム位相において、Li-Yorkeカオス的および分布的カオス的作用素の集合の閉包は一致するか？
• RQ2 超循環的作用素の集合の閉包と分布的カオス的作用素の集合の閉包の関係は何か？
• RQ3 Li-Yorkeカオス的および分布的カオス的作用素の集合は、作用素空間において空でない内部を持つか？
• RQ4 Li-Yorkeカオス的、分布的カオス的、および超循環的作用素の集合は、作用素ノルム位相において連結か？
• RQ5 例えば $5B$ と $5B^2$ のような異なるカオス的作用素を、分布的カオス的作用素の集合内に連続的経路で結べるか？

主な発見

• 作用素ノルム位相において、Li-Yorkeカオス的および分布的カオス的作用素の集合の閉包は同一である。
• Li-Yorkeカオス的作用素の集合および分布的カオス的作用素の集合の両方とも、空でない内部を持ち、それらの内部は一致する。
• 超循環的作用素の集合の閉包は、分布的カオス的作用素の集合の閉包に含まれる。
• 分布的カオス的作用素の集合、すなわち $DC(H)^0$ は弧状連結である。これは、任意の2つのこのような作用素が集合内に連続的経路で結べることを意味する。
• $5B$ と $5B^2$ を結ぶ明示的な弧が $DC(H)^0$ 内に構成され、分布的カオス的作用素の集合の連結性を実証している。
• スペクトル集合 $\rho_{s-F}^{(+)}(T)$ は、特にスペクトルが単位円と交差する場合に、作用素の摂動が分布的カオスを保存することを検証する上で重要な役割を果たす。