[論文レビュー] Approximation of classes of analytic functions by de la Vallee Poussin sums in uniform metric

A. S. Serdyuk, Ie. Yu. Ovsii+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複素数の帯に解析接続可能な関数族（$(\psi,\beta)$-微分可能性を用いて定義）の最良近似について、一様ノルムにおけるde la Vallée Poussin和による漸近的等式を確立する。主な結果は、$\psi(n-p+1)$、$q^{n-p+1}$、および核に依存する積分を用いて収束速度を定量的に評価し、$p$、$q$、滑らかさモジュラスに依存する明示的な誤差評価を与える。

ABSTRACT

In this paper asymptotic equalities are found for the least upper bounds of deviations in the uniform metric of de la Vallee Poussin sums on classes of 2π-periodic (ψ,β)-differentiable functions admitting an analytic continuation into the given strip of the complex plane. As a consequence, asymptotic equalities are obtained on classes of convolutions of periodic functions generated by the Neumann kernel and the polyharmonic Poisson kernel.

研究の動機と目的

• 一様ノルムにおける $2\pi$-周期関数の $C^\psi_\beta \mathfrak{N}$ クラスに対する de la Vallée Poussin 和による最良近似の漸近的等式を導出すること。
• 既存の $\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$ の結果を、$\psi \in D_0$（整関数）の場合から、$\psi \in D_q$、$q \in (0,1)$ の場合に拡張すること。これは、関数が帯内で正則である場合に対応する。
• Neumannカーネルおよび多調和ポissonカーネルによって生成されるクラスにおける近似を、$p$、$n$、滑らかさパラメータに明示的な依存関係を含めて分析すること。
• $q^{n-p+1}$、$\psi(n-p+1)$、および $[0, \pi/2]$ 上の $\sin t$ と連続性モジュラス $\omega(t)$ で重み付けられた積分を含む鋭い誤差推定値を提供すること。

提案手法

• 関数クラス $C^\psi_\beta \mathfrak{N}$ を、$\psi \in D_q$、$q \in (0,1)$ を満たす $2\pi$-周期関数で、$(\psi,\beta)$-微分が $L_s$ または $C$ に属するものとして定義する。これは、$|\operatorname{Im} z| \leq \ln(1/q)$ の範囲で解析接続可能であることを意味する。
• 近似作用素として de la Vallée Poussin 和 $V_{n,p}(f;x) = \frac{1}{p} \sum_{k=n-p}^{n-1} S_k(f;x)$ を用いる。ここで $p = p(n) \leq n$ である。
• $\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$ と $\psi(n-p+1)$ と核に依存する積分（$\mathbf{K}(q^p)$、$K_{q,p}(s')$、$\int_0^{\pi/2} t^\alpha \sin t \, dt$ を含む）との間で漸近的同等性を確立する。
• $\mathcal{E}(C^q_\beta \mathfrak{N}; S_{n-1})$ の既知の漸近的漸近展開を用い、$\psi(n) q^{-n}$ によるスケーリングにより、一般の $\psi \in D_q$ に対する結果を導出する。
• $\varepsilon_n = \sup_{k \geq n} |\psi(k+1)/\psi(k) - q|$ の推定値を用いて、漸近展開における誤差項を制御する。
• Neumannカーネル（$\psi(k) = q^k/k$）および多調和ポissonカーネル（$\psi_m(k)$）について、それぞれの明示的公式と $\varepsilon_n$ の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\psi \in D_q$、$q \in (0,1)$ に対して、$n-p \to \infty$ のときの最良近似誤差 $\mathcal{E}(C^\psi_\beta \mathfrak{N}; V_{n,p})$ の漸近的挙動は何か？
• RQ2 $C^\psi_\beta \mathfrak{N}$ クラスの近似速度は、パrameter $p$ と崩壊率 $q$ にどのように依存するか？
• RQ3 $\mathfrak{N} = U_s^0$ または $\mathfrak{N} = H_\omega$（$\omega$ は凸連続性モジュラス）の場合の近似誤差の正確な漸近的表現は何か？
• RQ4 Neumannカーネル（$\psi(k) = q^k/k$）と多調和ポissonカーネル（$\psi_m(k)$）の結果は、$m$ と $q$ にどのように依存するか異なっているか？
• RQ5 $\varepsilon_n = \sup_{k \geq n} |\psi(k+1)/\psi(k) - q|$ が漸近展開の誤差項において果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathfrak{N} = U_s^0$（$1 \leq s \leq \infty$）の場合、漸近的等式は $\mathcal{E}(C^\psi_{\beta,s}; V_{n,p}) = \frac{\psi(n-p+1)}{p(n-p+1)^\alpha} \left( \frac{2^{2+\alpha}}{\pi^2} \frac{1-q^{2p}}{1-q^2} \mathbf{K}(q^p) \int_0^{\pi/2} t^\alpha \sin t \, dt + O(1) \left( \frac{1}{(1-q)^{\gamma(p)}(n-p+1)^{1-\alpha}} + \frac{\varepsilon_{n-p+1}}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \right) \right)$ である。
• $\mathfrak{N} = H\omega$ の場合、漸近的表現は $\mathcal{E}(C^\psi_{\beta}H_\omega; V_{n,p}) = \frac{\psi(n-p+1)}{p(n-p+1)^\alpha} \left( \frac{4}{\pi^2} \frac{1-q^{2p}}{1-q^2} \mathbf{K}(q^p) \int_0^{\pi/2} \omega\left(\frac{2t}{n-p+1}\right) \sin t \, dt + O(1) \left( \frac{\omega(\pi)}{(1-q)^{\gamma(p)}} + \frac{\varepsilon_{n-p+1}}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \omega\left(\frac{1}{n-p+1}\right) \right) \right)$ である。
• Neumannカーネル（$\psi(k) = q^k/k$）の場合、$\varepsilon_{n-p+1} = \frac{q}{n-p+2}$ であり、 $\mathcal{E}(C^{q/k}_{\beta,s}; V_{n,p}) = \frac{q^{n-p+1}}{p(n-p+1)} \left( \frac{\|\cos t\|_{s'}}{\pi^{1+1/s'}} K_{q,p}(s') + O(1) \left( \frac{1}{(n-p+1)} \left( \frac{1}{(1-q)^{\sigma(s',p)}} + \frac{q}{(1-q)^2} \min\{p, (1-q)^{-1}\} \right) \right) \right)$ が得られる。
• 多調和ポissonカーネル（$\psi_m(k)$）の場合、漸近的誤差には $1 + \sum_{j=1}^{m-1} \frac{(1-q^2)^j}{j! 2^j} \prod_{l=0}^{j-1} (n-p+1 + 2l)$ の因子が含まれており、これはカーネルの次数 $m$ を反映している。
• 誤差項は $n$、$p$、$q$、$s$、$\omega$、$\beta$ に関して一様に有界であり、$O(1)$ 項は $n-p$ に依存しない。
• 既存の $S_{n-1}$（すなわち $p=1$）に関する研究を一般の $p \geq 1$ に一般化し、かつ $\psi \in D_0$（整関数）の範囲から $\psi \in D_q$、$q \in (0,1)$（帯内で正則な関数）にスコープを拡張した。