[論文レビュー] Approximation of classes of functions defined by a generalized $r$-th modulus of smoothness

М. К. Потапов, Faton M. Berısha|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化されたr階の滑らかさモジュラスによって定義される関数類と、代数多項式による最良近似の速度が与えられた関数類との間の同値性を確立する。非対称な一般化された翻訳作用素を用いて、p、α、β、λ に関する特定の条件下で、H(p,α,β,r,λ) が E(p,α,β,λ) と一致することを証明し、先行研究を高階の滑らかさおよびより広範な関数空間へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, a $k$-th generalized modulus of smoothness is defined based on an asymmetric operator of generalized translation and a theorem is proved about the coincidence of class of functions defined by this modulus and a class of functions having given order of best approximation by algebraic polynomials.

研究の動機と目的

• 一般化された滑らかさモジュラスによって定義される関数類の理論を、高階の滑らかさ（r階）へと拡張すること。
• 一般化されたr階の滑らかさモジュラスによって定義される関数類が、代数多項式による最良近似の速度が与えられた関数類と一致することを確立すること。
• 特に、ジャコビ型重みを伴う重み付きLp空間において、同値定理が成り立つ関数空間を拡張すること。
• 新規の非対称な一般化された翻訳作用素を用いて、先行研究の1階モジュラスに関する結果を高階モジュラスへ一般化すること。
• 同値性が成り立つためのパラメータp、α、β、λに関する鋭い条件を提示すること。特に滑らかさと可積分性のパラメータに関する制約を含む。

提案手法

• 三角関数的および代数的成分を含む非対称な積分変換に基づく一般化された翻訳作用素 T_y(f,x) を導入する。
• 一般化された差分作用素 Δ_r^{t1,…,tr}(f,x) を、一般化された翻訳作用素の繰り返し適用によって再帰的に定義する。
• すべての |t_i| ≤ δ におけるr階差分作用素の L_{p,α,β}-ノルムとして、一般化されたr階モジュラスを構成する。
• 重み付きLp空間における直交基底として、ジャコビ多項式 P_ν^{(α,β)}(x) を用いて近似性質を分析する。
• 反復差分の L_{p,α,β}-ノルムを推定するために、一般化されたミンコフスキーおよびホルダー型不等式を適用する。
• 2階および1階の差分作用素の微分不等式を用いた再帰的推定を行い、ノルムをパラメータδおよび多項式次数kの関数として評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータp、α、β、λ がどのような条件下で、一般化されたr階モジュラスが代数多項式による最良近似の速度を制御するか？
• RQ2 非対称な一般化された翻訳作用素の使用が、滑らかさモジュラスによる関数類の特徴付けにどのように影響するか？
• RQ3 同値定理が成り立つ関数の空間を、古典的なLp空間を越えてどの程度拡張できるか？
• RQ4 関数の滑らかさ（一般化されたモジュラスで測定）と、代数多項式による近似誤差との間の正確な関係は何か？
• RQ5 区間の端点を重みづけるパラメータαおよびβは、滑らかさと近似の関数類の同値性にどのように影響するか？

主な発見

• λ₀ < λ < 2r を満たすλに対して、一般化されたr階モジュラスによって定義される関数類 H(p,α,β,r,λ) が、最良近似誤差が O(n^{-λ}) である関数類 E(p,α,β,λ) と一致する。
• 同値性は、以下のパラメータ条件のもとで成り立つ：p=1 のとき 1/2 < α,β ≤ 2；1<p<∞ のとき 1−1/(2p) < α,β < 3−1/p；p=∞ のとき 1 ≤ α,β < 3。
• 証明により、r階差分作用素の L_{p,α,β}-ノルムが Cδ^{2r}2^{kr}‖Q_k‖_{p,α,β} で有界であることが示され、最終的な推定 I ≤ Cδ^λ が得られる。
• 重要な推定 I_k ≤ Cδ²2^{2k}‖Δ_{r−1}^{t1,…,tr−1}(Q_k,x)‖_{p,α,β} が再帰的バインドを導き、I ≤ Cδ^λ に蓄積され、主定理の証明がなされる。
• 本結果は、先行研究の1階モジュラスに関する結果を高階モジュラスへ一般化し、より広範な重み付き関数空間への適用可能性を拡張する。
• 証明は、一般化された翻訳作用素を含む積分の精密な推定に依拠しており、変数変換および差分作用素の導関数のバインドを用いる。