[論文レビュー] Approximation of corner polyhedra with families of intersection cuts

Gennadiy Averkov, Amitabh Basu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界な面をもつ格子自由多面体から導かれる切り捨てカットを用いたコーナーポリトープの近似に関して、鋭い閾値を確立している。n 個の基本的整数変数をもつ場合、定数倍の近似が可能であるための必要十分条件は、格子自由集合の面数が $2^{n-1}$ 個より多いことである。それ以外の場合は、このような近似は存在しない。特に、近似係数が線形緩和の分数頂点の分母に依存する場合、閾値は $n$ 個の面にシフトする。

ABSTRACT

We study the problem of approximating the corner polyhedron using intersection cuts derived from families of lattice-free sets in $\mathbb{R}^n$. In particular, we look at the problem of characterizing families that approximate the corner polyhedron up to a constant factor, which depends only on $n$ and not the data or dimension of the corner polyhedron. The literature already contains several results in this direction. In this paper, we use the maximum number of facets of lattice-free sets in a family as a measure of its complexity and precisely characterize the level of complexity of a family required for constant factor approximations. As one of the main results, we show that, for each natural number $n$, a corner polyhedron with $n$ basic integer variables and an arbitrary number of continuous non-basic variables is approximated up to a constant factor by intersection cuts from lattice-free sets with at most $i$ facets if $i> 2^{n-1}$ and that no such approximation is possible if $i \leq 2^{n-1}$. When the approximation factor is allowed to depend on the denominator of the fractional vertex of the linear relaxation of the corner polyhedron, we show that the threshold is $i > n$ versus $i \leq n$. The tools introduced for proving such results are of independent interest for studying intersection cuts.

研究の動機と目的

• 次元 n のみに依存する定数倍近似を達成するための格子自由集合の最小複雑性を同定すること。
• コーナーポリトープの定数倍近似を可能にする格子自由集合の面数の閾値を特定すること。
• 線形緩和の分数頂点の構造が近似品質に与える影響を分析すること。
• ゲージ関数と格子自由単体の相似コピーを用いて、近似係数のタイトな境界を確立すること。
• 有界な面数をもつ族からの切り捨てカットによるコーナーポリトープの表現可能性に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 著者らは、格子自由集合のゲージ関数を用いて切り捨てカットを定義し、集合 B に対するカットは $ C_B(R,f) = \{ s \geq 0 : \sum s_i \psi_{B-f}(r_i) \geq 1 \} $ で与えられる。
• 彼らは、高々 $ i $ 個の面をもつ格子自由多面体からのすべてのカットの共通部分として $ i $-面閉包を定義する。
• 主な技術的アプローチとして、最大の格子自由単体 $ L $ の相似コピー $ L_\alpha $ を、スケーリング係数 $ \alpha $ を用いて、格子自由集合に対する包含関係を制御する。
• 証明は次元に関する帰納法を用い、面数が $ i \leq n $ 個の格子自由集合 $ B $ がスケーリングコピー $ \mu L + (1-\mu)f $ を含むならば、$ L $ の面の相対的内部に属する二点を結ぶ線分を必ず含むことを示す。
• ピーコンホールドの原理に基づく背理法を用いる：$ n $ 個の半空間が $ n+1 $ 個の点を覆うならば、少なくとも一つの半空間が二つの点を覆う。これは、線分が $ B $ の内部と交差することを意味し、格子自由性に反する。
• 近似係数がデータに依存しない（絶対的）場合と、データに依存する（分数頂点の分母に依存）場合を区別して分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子自由多面体が、次元 n のみに依存する定数倍近似を可能にするために必要な最小の面数は何か？
• RQ2 格子自由集合の面数に、定数倍近似が可能になる鋭い閾値が存在するか？
• RQ3 線形緩和の分数頂点の分母に依存する近似係数を許容する場合、近似品質はどのように変化するか？
• RQ4 面数が $ i \leq 2^{n-1} $ 個の格子自由集合からの切り捨てカットが、コーナーポリトープを定数倍の誤差で近似できるか？
• RQ5 最大の格子自由単体の相似コピーが、近似品質のタイトな境界を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 各 $ n \in \mathbb{N} $ に対して、$ n $ 個の基本的整数変数をもつコーナーポリトープは、高々 $ i $ 個の面をもつ格子自由集合からの切り捨てカットによって、定数倍の誤差で近似可能であるための必要十分条件は $ i > 2^{n-1} $ である。
• $ i \leq 2^{n-1} $ の場合、定数倍近似は不可能であり、$ 2^{n-1} $ 個の面が鋭い閾値であることが示された。
• 近似係数が線形緩和の分数頂点の分母に依存する場合、閾値は $ i > n $ と $ i \leq n $ にシフトする。
• 証明により、$ i \leq n $ の場合、比 $ \rho_f(\mathcal{L}_i^n, \mathcal{L}_{i+1}^n) = \infty $ であることが示され、一様な近似が不可能であることが示された。
• 著者らは、$ i > n $ の場合、$ i $-面閉包 $ C_{\mathcal{L}_i^n}(R,f) $ が $ \operatorname{Cor}(R,f) $ を $ \operatorname{Flt}(n) 4^{n-1} s $ の定数倍以内で近似できることを確立した。ここで $ s $ は分数頂点の分母である。
• $ n+2 $ 個の面をもつ最大の格子自由単体 $ L $ の相似コピー $ L_\alpha $ の構成は、$ 2^{n-1} $ 個の面における鋭い閾値を示すために不可欠である。