[論文レビュー] Approximation of Holder continuous homeomorphisms by piecewise affine homeomorphisms

José C. Bellido, Carlos Mora‐Corral|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、平面領域（多角形境界をもつ）間のホルダー連続なホメオモルフィズムを、折れ線的ホメオモルフィズムによって近似する構成的技法を提示する。この近似は、元のホルダー指数 α にのみ依存するホルダーノルムの次数 β において収束する。近似は、三角形分割のパラメータ（辺の長さ、角度、アスペクト比）を制御することに依存しており、写像およびその逆写像のホルダー正則性のもとで安定性と収束性を保証する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the problem of approximating a homeomorphism by piecewise affine homeomorphisms. The main result is as follows: every homeomorphism from a planar domain with a polygonal boundary to R^2 that is globally Holder continuous of exponent α, and whose inverse is also globally Holder continuous of exponent αcan be approximated in the Holder norm of exponent βby piecewise affine homeomorphisms, for some βthat only depends on α. The proof is constructive. We adapt the proof of simplicial approximation in the supremum norm, and measure the side lengths and angles of the triangulation over which the approximating homeomorphism is piecewise affine. The approximation in the supremum norm, and a control on the minimum angle and on the ratio between the maximum and minimum side lengths of the triangulation suffice to obtain approximation in the Holder norm.

研究の動機と目的

• ホルダー連続なホメオモルフィズムを、折れ線的ホメオモルフィズムによってホルダーノルムで近似する問題に取り組む。
• ホメオモルフィズムおよびその逆写像が両方とも指数 α でホルダー連続である場合に、そのような近似が可能となる条件を確立する。
• 収束がホルダーノルムの次数 β < α において保証されるような、構成的技法を提供する。ただし β は α のみに依存する。
• 三角形分割の幾何的性質（最小角、辺の長さ比）を制御することで、近似の精度を保証する。

提案手法

• 古典的な単体的近似定理をホルダー設定に適応するため、三角形分割に幾何的制約を導入する。
• 三角形分割における最大および最小辺の長さを制御することで、近似における歪みを抑え込む。
• 三角形の最小角に正の下界を保証することで、退化を防ぎ、正則性を維持する。
• 上界ノルムの近似誤差と幾何的制御を組み合わせ、ホルダーノルムの次数 β における境界を導出する。
• 多角形境界をもつ三角形分割領域上で、折れ線的ホメオモルフィズムを明示的に構成する。
• 提示された幾何的および正則性条件のもとで、メッシュを細かくするにつれてホルダーノルムの近似誤差が 0 に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルダー逆写像をもつホルダー連続なホメオモルフィズムは、ホルダーノルムにおいて折れ線的ホメオモルフィズムによって近似可能か？
• RQ2 ホルダーノルムにおける収束を保証するための、三角形分割に必要な幾何的制約は何か？
• RQ3 近似におけるホルダー指数 β は、元のホルダー指数 α にどのように依存するか？
• RQ4 三角形分割の幾何的パラメータを用いて、上界ノルムの近似誤差をどの程度制御できるか？
• RQ5 ホメオモルフィズム性を保つような、このような近似を構成的に構築する方法はあるか？

主な発見

• 任意のグローバルにホルダー連続で指数 α をもち、逆写像がホルダー連続で指数 α をもつホメオモルフィズムは、折れ線的ホメオモルフィズムによってホルダーノルムの次数 β で近似可能である。
• 近似ノルムの指数 β は、元のホルダー指数 α にのみ依存し、領域やその他の幾何的特徴には依存しない。
• 近似は構成的であり、辺の長さと角度を制御した三角形分割に依存する。
• 三角形分割における最小角および最大辺長と最小辺長の比の制御により、ホルダーノルムの収束が保証される。
• 幾何的および解析的推定を組み合わせることで、古典的な単体的近似をホルダー設定に拡張する。
• 提示された幾何的および正則性条件のもとで、メッシュサイズが小さくなるにつれてホルダーノルムにおける近似誤差は 0 に収束する。