[論文レビュー] Approximation of Linear Differential Equations with variable delay on an Infinite Interval

Daniel Sepúlveda|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限区間における変化する遅れを有する非-autonomous線形微分方程式を近似するための区分的定数引数離散化法を提示する。連続系から離散差分方程式への均等近似および均等漸近安定性の転送に関する十分条件を確立し、Halanayの不等式の積分形を用いてCookeとGy"{o}ri（1994）の結果を改善する。

ABSTRACT

We study approximation of non-autonomous linear differential equations with variable delay over infinite intervals. We use piecewise constant argument to obtain a corresponding discrete difference equation. The study of numerical approximation over an unbounded interval is in correspondence with the problem of transference of qualitative properties between a continuous and the corresponding discrete dynamical systems. We use theory of differential equations with delay and theory of integral inequality to prove our main result. We state sufficient conditions for: a) uniform approximation of solutions over an unbounded interval and b) transference of uniform asymptotic stability of non-autonomous linear differential equations with variable delay to the corresponding discrete difference equations. We improve and extended the results of \cite{cooke1994}.

研究の動機と目的

• 非-autonomous線形微分方程式の変化遅れを有する無限時間区間における数値近似を研究すること。
• 近似解の均等収束を[0, ∞)上で確立すること。
• 連続遅れ微分方程式から離散差分方程式への均等漸近安定性の転送を調査すること。
• Halanayの不等式の積分形を用いることで、特にCookeとGy"{o}ri（1994）の結果を拡張・改善すること。
• 神経ネットワークやパrameter同定などの応用分野における、このような系の信頼性の高い数値シミュレーションの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 連続的線形微分方程式を変化遅れを有する区分的定数引数に変換し、対応する離散差分方程式に変換する。
• 安定性および誤差ダイナミクスの解析に、Halanayの不等式の積分形を適用する。
• 誤差関数 $ E_h(t) $ を分析し、非同次関数微分方程式を満たすことを示す。
• 安定性および収束を保証するための係数関数 $ a(t) $ および遅れ関数 $ r(t) $ に対する条件を確立する。
• 遅れを伴う微分方程式の理論および積分不等式を用いて、均等近似および安定性転送のための十分条件を導出する。
• 振動係数および時間変動遅れを有する具体的な例を通じて、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的定数引数離散化が、[0, ∞)上で非-autonomous線形微分方程式の解を均等に近似するための条件は何か？
• RQ2 連続系のゼロ解の均等漸近安定性が、対応する離散差分方程式に保たれるのはいつか？
• RQ3 Halanayの不等式は、変化遅れを有する系における誤差ダイナミクスおよび安定性転送を分析するためにどのように適合可能か？
• RQ4 均等近似および安定性転送を保証するための $ a(t) $ および $ r(t) $ に対する十分条件は何か？
• RQ5 本手法は、CookeとGy"{o}ri（1994）の結果と比較して、どのように改善されているか？

主な発見

• 連続系の解が、[0, ∞)上で離散差分方程式の解によって均等に近似可能であるための十分条件が確立された。
• Yorkeの定理に従い、$ 0 < a(t) \leq \alpha $ および $ \alpha q < \frac{3}{2} $ の条件下で、連続系のゼロ解は均等漸近安定である。
• 同じ条件下で、離散系 $ \mathfrak{z}_h(n+1) = \mathfrak{z}_h(n) - \mathfrak{a}_h(n) \mathfrak{z}_h(n - k_n) $ は連続系の均等漸近安定性を引き継ぐ。
• 誤差はHalanayの不等式の積分形を用いて、指数関数的に減少することが示された。
• 時間変動遅れおよび非-autonomous係数を有する系に対しても本手法は有効であることが、$ a(t) = 1 + \frac{\sin(t)}{3} $ および $ r(t) = |\cos(t)| $ を有する例を通じて示された。
• CookeとGy"{o}ri（1994）の結果を拡張・改善しており、特に変化遅れおよび非-autonomous系の文脈において顕著な進展が得られた。