[論文レビュー] Approximation of Lipschitz functions by $\Delta$-convex functions in Banach spaces

Manuel Cepedello Boiso|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 1997

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間がスーパー反射的であることと、その上での任意のリプシッツ関数が有界集合上で凸関数の差（Δ-凸関数）によって一様近似可能であることとは同値であることを確立している。著者らは、ノルムの強凸性に基づく明示的な近似公式を提示し、スーパー反射的空間では、リプシッツ関数が全空間上でΔ-凸関数によって一様近似可能であり、収束速度はノルムの凸性モジュラスのパワー型に依存することを証明している。

ABSTRACT

In this paper we give some results about the approximation of a Lipschitz function on a Banach space by means of $\Delta$-convex functions. In particular, we prove that the density of $\Delta$-convex functions in the set of Lipschitz functions for the topology of uniform convergence on bounded sets characterizes the superreflexivity of the Banach space. We also show that Lipschitz functions on superreflexive Banach spaces are uniform limits on the whole space of $\Delta$-convex functions.

研究の動機と目的

• 有界集合上でリプシッツ関数の空間におけるΔ-凸関数の密度という観点から、スーパー反射的バナッハ空間を特徴づけること。
• 滑らかな近似結果をΔ-凸関数に拡張し、そのような近似が成立するための必要十分条件を同定すること。
• スーパー反射的空間におけるリプシッツ関数のΔ-凸関数による一様近似を保証する、明示的かつ計算可能な公式を提供すること。
• リプシッツ関数の振動安定性の失敗が、最小のスーパー反射的空間（例：ℓp（1 < p < ∞））において凸関数の振動安定性の失敗をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 与えられたリプシッツ関数 f に対して、fn(x) := inf_y∈X [f(y) + n(2‖x‖² + 2‖y‖² - ‖x + y‖²)] で定義されるΔ-凸関数の列を提案する。
• 各 fn がΔ-凸であることを示すため、fn = cn - dn と分解し、cn(x) = 2n‖x‖² および dn(x) = sup_y [n‖x + y‖² - 2n‖y‖² - f(y)] と定義する。
• ノルムの凸性モジュラスを用いて、下界における x と y の距離を制御し、収束がノルムのパワー型 p に依存することを結びつける。
• 非スーパー反射的空間の単位球内における二分木を用いて、有界な凸関数の差によって一様近似できない1-リプシッツ関数を構成する。
• ジェイムズの有限木性質と商空間技法を用い、非スーパー反射的空間に含まれる入れ子状で分離された二分木を帰納的に構成する。
• 木の枝に対する2段階のアルゴリズム的議論を用いて、任意のこのような近似が凸関数が有界でなくなることを強制し、単位球内での有界性と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界集合上でリプシッツ関数がΔ-凸関数の差によって一様近似可能であるための、バナッハ空間における必要十分条件は何か？
• RQ2 スーパー反射的空間において、リプシッツ関数をΔ-凸関数によって全空間上で一様近似する明示的公式を構築可能か？収束は全空間で成立するか？
• RQ3 ノルムの強凸性は、リプシッツ関数のΔ-凸関数近似における収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 最小のスーパー反射的空間（例：ℓp（1 < p < ∞））において、非振動安定なリプシッツ関数の存在は、非振動安定な凸関数の存在をもたらすか？
• RQ5 有界な凸関数の差によるリプシッツ関数の非一様近似が、非スーパー反射的バナッハ空間を特徴づけるために利用可能か？

主な発見

• バナッハ空間 X がスーパー反射的であることと、X 上の任意のリプシッツ関数が有界集合上で、有界な凸関数の差によって一様近似可能であることとは同値である。
• スーパー反射的バナッハ空間では、提案された公式により、任意のリプシッツ関数が全空間上でΔ-凸関数によって一様近似可能であり、収束はノルムの凸性モジュラスのパワー型に依存する。
• 近似公式 fn(x) = inf_y [f(y) + n(2‖x‖² + 2‖y‖² - ‖x + y‖²)] は、ノルムが一様凸であるとき、f にτb収束するΔ-凸関数を与える。
• 局所的に一様凸なノルムでは、同じ公式により f にτκ収束する。
• 非スーパー反射的空間では、単位球上に1-リプシッツ関数 f が存在し、任意の連続的かつ有界な凸関数 c, d に対して、sup_x∈BX |f(x) - (c - d)(x)| ≥ 1/4 が成り立つ。
• 有界な凸関数の差によって一様近似できない1-リプシッツ関数の構成は、非スーパー反射的空間の単位球内に無限個の分離された二分木の列を用いるものであり、このような近似が存在すると仮定すると矛盾が生じる。