[論文レビュー] Approximation of operators in Banach spaces

O. I. Reinov|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Banach空間における絶対的 $ p $-核型および準 $ p $-核型作用素の近似について、$ \pi_p $-コンパクト収束位相の下で考察する。$ p \neq 2 $ の場合、有限ランク作用素が $ \operatorname{QN}_p $-ノルムの下で $ \operatorname{QN}_p $-作用素空間に稠密でないような、可分な強反射的Banach空間が存在することを示している一方で、$ \tau_p $-位相の下では、絶対的 $ p $-和型作用素空間においては有限ランク作用素が稠密である。主たる貢献は、$ \operatorname{QN}_p $-空間における有限ランク作用素の稠密性に対する反例の構成であり、非2-和可能な設定における近似性質に関する長年の問いを解決する。

ABSTRACT

It is a translation of an old paper of mine. We describe the topology tau_p in the space Pi_p(Y,X), for which the closures of convex sets in tau_p and in *-weak topology of the space Pi_p(Y,X) are coincident. Thereafter, we investigate some properties of the space Pi_p, related to this new topology. 2010-remark: Occasionally, the topology is coincides with the lambda_p-topology from the paper "Compact operators which factor through subspaces of l_p", Math. Nachr. 281(2008), 412-423 by Deba Prasad Sinha and Anil Kumar Karn.

研究の動機と目的

• 準 $ p $-核型作用素空間における有限次元作用素の稠密性を、$ \pi_p $-ノルム位相の下で調査すること。
• 絶対的 $ p $-和型作用素空間の双対空間を、$ \pi_p $-コンパクト収束位相の下での $ \tau_p $-位相において特徴づけること。
• P. Sapharが提起した、$ \Pi_p(Y,X) $ 内の凸集合について、弱位相と $ \tau_p $-位相の閉包が一致するかという問いを解決すること。
• 明示的な反例を構成し、$ p \neq 2 $ の場合、近似性質 $ \operatorname{AP}_p $ が $ \operatorname{QN}_p $-空間における有限ランク作用素の稠密性を示さないことを示すこと。

提案手法

• $ \Pi_p(Y,X) $ 上の $ \tau_p $-位相を、$ \pi_p $-コンパクト収束位相として定義し、局所基底 $ \omega_{K,\varepsilon} = \{ U \in \Pi_p(Y,X) : \pi_p(U\Phi_K) < \varepsilon \} $ によって記述すること。
• コンパクト集合 $ K \subset Y $ に対して、自然埋め込み $ \Phi_K: X_K \to X $ を導入し、関連するBanach空間 $ X_K $ 上での作用素の作用を考察すること。
• 作用素イデアルの双対理論を適用し、$ (\operatorname{R}, \tau_p)' $ をトレース関数を通じて $ X^* \widehat{\otimes}_{p'} Y $ の商と同定すること。
• Banach空間の直和構成を用いて、ある $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ に対して $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $ であるが、すべての $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ に対して $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ であるような、$ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $ におけるテンソル要素 $ z $ を構成すること。
• イデアル $ \operatorname{QN}_p $ の単射性と、厳密に $ p' $-積分的作用素による双対の表現を用い、関数型をテンソル積へ埋め込むこと。
• $ Y^* \widehat{\otimes}_{p'} X \to \operatorname{N}_{p'}(Y,X) $ の自然な写像の非単射性を用いて、$ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $ となるような反射的空間を構成し、$ w^* $-位相における最小の閉包を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \pi_p $-ノルム位相の下で、$ \operatorname{QN}_p(Y,X) $ 内の有限ランク作用素の閉包が、すべての $ p \in [1,\infty] $ に対して全体空間に等しいか。
• RQ2 $ \Pi_p(Y,X) $ 上の $ \tau_p $-位相は、凸集合の閉包を弱*-位相と同一視できるか。
• RQ3 Banach空間 $ Z $ とテンソル $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $ を構成し、ある $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ に対して $ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $ であるが、すべての $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ に対して $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ であるか。
• RQ4 反射的空間 $ X,Y $ に対して、$ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $ が成り立つ $ p \in [1,\infty] $ はどれか。

主な発見

• $ p \in [1,\infty] $ かつ $ p \neq 2 $ に対して、任意に与えられた可分な強反射的Banach空間 $ E $ と、基底をもつ可分な双対空間 $ H $ が存在し、$ \operatorname{QN}_p(H,E) \neq \overline{H^* \otimes E}^{\pi_p} $ が成り立つ。これは、有限ランク作用素が $ \operatorname{QN}_p $-空間に稠密でないことを示している。
• $ p \in [1,\infty) $ に対して、可分な強反射的Banach空間 $ X $ と $ Y $ が存在し、$ \overline{X^* \otimes Y}^{\tau_p} = X^* \widehat{\widehat{\otimes}}_p Y $ が成り立つ。これは、$ \tau_p $-位相における有限ランク作用素の閉包が $ w^* $-位相において最小であることを示している。
• あるテンソル要素 $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_{p'} Z $ と作用素 $ \Psi \in \Pi_p(Z,Z^{**}) $ が存在し、$ \operatorname{trace}(\Psi \circ z) = 1 $ であるが、すべての $ \Phi \in \Pi_p(Z,Z) $ に対して $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ である。これは、トレース関数が $ \Pi_p(Z,Z) $ の双対において非ゼロ要素を検出できないことを示している。
• $ \operatorname{R} \supset Y^* \otimes X $ のとき、$ (\operatorname{R}, \tau_p) $ の双対空間は $ X^* \widehat{\otimes}_{p'} Y $ の商と同型であり、関数型は $ \varphi(U) = \operatorname{trace}(U \circ z) $ の形で表される。
• $ \Pi_p(Y,X) $ は $ Y^* \otimes X $ の $ \tau_p $-閉包に等しく、これは $ \tau_p $-位相が $ \Pi_p(Y,X) $ 内の凸集合に対して正しい閉包を与えることを確認し、P. Sapharの問いに答えている。
• $ p = \infty $ の場合、すべての $ \Phi \in \operatorname{L}(Z,Z) $ に対して $ \operatorname{trace}(\Phi \circ z) = 0 $ である非ゼロテンソル $ z \in Z^* \widehat{\otimes}_1 Z $ が存在する。これはSten Kaijserが提起した問いを解決する。