[論文レビュー] Approximation of Optimal Transport problems with marginal moments constraints

Aurélien Alfonsi, Rafaël Coyaud+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 40被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、テスト関数を用いて厳密な周辺制約をモーメント制約に置き換えることで、最適輸送（OT）問題を近似する新しい数値的手法を提案する。Tchakaloffの定理を活用し、モーメント制約付き最適輸送（MCOT）問題が有限離散解を有することを証明した。基本的な状況では $O(1/n)$ または $O(1/n^2)$ の収束速度を示し、従来の離散化手法に代わるスケーラブルな代替手法を提供し、マルチマージナルおよびマーチンゲールOT問題における次元の呪いを回避する。

ABSTRACT

Optimal Transport (OT) problems arise in a wide range of applications, from physics to economics. Getting numerical approximate solution of these problems is a challenging issue of practical importance. In this work, we investigate the relaxation of the OT problem when the marginal constraints are replaced by some moment constraints. Using Tchakaloff's theorem, we show that the Moment Constrained Optimal Transport problem (MCOT) is achieved by a finite discrete measure. Interestingly, for multimarginal OT problems, the number of points weighted by this measure scales linearly with the number of marginal laws, which is encouraging to bypass the curse of dimension. This approximation method is also relevant for Martingale OT problems. We show the convergence of the MCOT problem toward the corresponding OT problem. In some fundamental cases, we obtain rates of convergence in $O(1/n)$ or $O(1/n^2)$ where $n$ is the number of moments, which illustrates the role of the moment functions. Last, we present algorithms exploiting the fact that the MCOT is reached by a finite discrete measure and provide numerical examples of approximations.

研究の動機と目的

• 高次元最適輸送問題の計算不能性、特にマルチマージナルおよびマーチンゲール制約付き設定における課題に対処すること。
• 事前に状態空間の離散化を行わない数値近似手法の開発。
• 厳密な周辺制約を、適切に選ばれたテスト関数に対するモーメント制約に置き換えることにより、有限次元最適化を可能とすること。
• モーメント制約付き最適輸送（MCOT）問題が元のOT問題に理論的に収束することの確立。
• MCOT解の有限離散構造を活用した数値実装のためのアルゴリズムの提供。

提案手法

• 元のOT問題の周辺制約を、有界なテスト関数 $\phi_i$ および $\phi_j$ を用いたモーメント制約に置き換える。
• Tchakaloffの定理を適用し、MCOT問題が高々 $N+1$ 個の原子を持つ有限離散測度によって達成されることを証明する。ここで $N$ はモーメント制約の数である。
• 離散点 $m/N$ における累積分布関数を一致させることで、測度 $\mu$ の離散近似 $\hat{\mu}^N$ を構築し、モーメントおよび分布的一致性を確保する。
• MCOT解が離散測度であることを利用し、マルチマージナルOTにおける次元の呪いを回避する有限次元最適化に問題を還元する。
• 有界な密度仮定を活用し、元の測度と近似測度の累積分布関数を比較することで収束速度を導出する。
• MCOT解の離散構造に基づいた数値アルゴリズムを設計し、線形計画法または反復解法を用いて効率的な計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周辺制約をモーメント制約に緩和することで、最適輸送問題を有限次元解に近似できるか？
• RQ2 モーメント数 $n$ が増加する際、モーメント制約付き最適輸送（MCOT）問題が元のOT問題にどの程度の速度で収束するか？
• RQ3 MCOT定式化は、ファイナンス的OT問題におけるマーチンゲール制約などの構造的性質を保持するか？
• RQ4 マルチマージナルOT問題において、最適MCOT解の原子数は周辺分布の数に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ5 MCOTフレームワークは効率的に数値実装可能か？また、標準的離散化手法に比べてどのような計算的利点があるか？

主な発見

• Tchakaloffの定理により、MCOT問題は高々 $N+1$ 個の原子を持つ有限離散測度によって達成され、$N$ はモーメント制約の数である。
• マルチマージナルOT問題において、MCOT解の原子数は周辺分布の数に対して線形にスケーリングされ、次元の呪いが緩和される。
• モーメント数 $n$ が増加するにつれて、MCOT解は元のOT解に収束し、基本的な状況では $O(1/n)$ または $O(1/n^2)$ の収束速度を示す。
• 元の測度が有界な密度を持つ場合、累積分布関数における近似誤差は $\frac{\|\rho_\mu\|_\infty}{6N^3}$ で有界であり、滑らかな密度に対して高い精度を保証する。
• MCOTフレームワークは、有限離散構造を活用した数値アルゴリズムを可能とし、標準的離散化およびエントロピー正則化に代わるスケーラブルな代替手法を提供する。
• 区間 $[0,1]$ 上の一様分布の場合、構築された近似 $\hat{\mu}^N$ は $m/N$ における累積分布関数と一致し、$\int_{T^N_m} F_{\hat{\mu}^N} = \int_{T^N_m} F_\mu$ を満たすため、モーメントおよび分布的一致性が保証される。