[論文レビュー] Approximation of parametrized kernels arising in nonlocal and fractional Laplace models

Olena Burkovska, Max Gunzburger|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2019

Numerical methods in engineering被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、パrameter δ（非局所的範囲）および s（分数階数）に依存するカーネルを有するパrametric非局所的・分数階ラプラシアン問題に対する低次元基底法を開発する。正則性および微分可能性に関する結果を導出し、局所多項式を用いたアフィン近似を構築するとともに、信頼性のある後験的誤差推定器を提供することで、パrameterの変動にわたる効率的かつ信頼性の高い解の近似が可能となる。

ABSTRACT

We consider parametrized problems driven by spatially nonlocal integral operators with parameter-dependent kernels. In particular, kernels with varying nonlocal interaction radius $\delta > 0$ and fractional Laplace kernels, parametrized by the fractional power $s\in(0,1)$, are studied. In order to provide an efficient and reliable approximation of the solution for different values of the parameters, we develop the reduced basis method as a parametric model order reduction approach. Major difficulties arise since the kernels are not affine in the parameters, singular, and discontinuous. Moreover, the spatial regularity of the solutions depends on the varying fractional power $s$. To address this, we derive regularity and differentiability results with respect to $\delta$ and $s$, which are of independent interest for other applications such as optimization and parameter identification. We then use these results to construct affine approximations of the kernels by local polynomials. Finally, we certify the method by providing reliable a posteriori error estimators, which account for all approximation errors, and support the theoretical findings by numerical experiments.

研究の動機と目的

• パrameter依存のカーネルを有するパrametric非局所的および分数階ラプラシアン問題を、効率的に解く挑戦に取り組む。
• 低次元基底フレームワークにおいて生じる非アフィン的で、特異的かつ不連続なカーネルの困難を克服する。
• 理論的および計算的利点を得るため、δ および s に関する解の正則性および微分可能性の性質を確立する。
• 局所多項式展開を用いて、非アフィン的カーネルのアフィン近似を構築する。
• 低次元基底フレームワークにおけるすべての近似誤差を考慮した信頼性のある後験的誤差推定器を提供する。

提案手法

• パrameter δ および s に関する解の正則性および微分可能性に関する結果を導出し、これに続く近似を可能にする。
• 非アフィン的カーネルをアフィン的パラメトリック形式に表現するため、局所多項式近似を構築する。
• パラメトリック解多様体を効率的に表現できるよう、オフラインスナップショットをグリーディアルゴリズムで選択する。
• 低次元基底およびカーネル近似誤差の両方を考慮した、信頼性のある後験的誤差推定器を開発する。
• 数値実験を通じて、収束性および信頼性に関する理論的結果を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的および分数階ラプラシアン問題における非アフィン的で、特異的かつ不連続なカーネルは、モデル次数低減のためにどのように効率的に近似可能か？
• RQ2 解はパrameter δ および s に関してどのような正則性および微分可能性の性質を示し、計算的にどのように活用できるか？
• RQ3 局所多項式によるカーネルのアフィン近似は、信頼性の高いかつ効率的な低次元基底解を可能にするか？
• RQ4 これらの問題における低次元基底フレームワークにおいて、すべての誤差源を考慮した後験的誤差推定器はどのように構築できるか？
• RQ5 提案手法の実効的性能は、δ および s の変動に対して、精度および効率の観点からどのように評価できるか？

主な発見

• 解は δ および s に関して十分な正則性および微分可能性を示し、効果的な近似およびモデル次数低減が可能である。
• 非アフィン的構造を持つカーネルに対しても、局所多項式近似により効果的なアフィン的パラメトリック表現が達成される。
• 低次元基底法により、新たなパrameter値に対する解の評価が高速かつ高精度で可能となる。
• 後験的誤差推定器は、低次元基底誤差およびカーネル近似誤差の両方を含む総誤差を信頼性高く界磁する。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、パrameter範囲全域にわたり手法の効率性および頑健性が示された。