[論文レビュー] Approximation of probability density functions for SPDEs using truncated series expansions

Giacomo Capodaglio, Max Gunzburger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的偏微分方程式（SPDEs）からの関数的の確率密度関数（PDF）を、切り捨てられたグラム・チャイラーおよびエッジワース級数展開を用いて近似する手法を提案する。モンテカルロ法および確率的ガレルキン法によって得られた解から導出される.cumulantsを活用することで、多項式展開を用いて非ガウス型PDFを効率的にモデル化でき、サンプリングに基づく密度推定法に対する計算コストが低い代替手法を提供する。

ABSTRACT

The probability density function (PDF) of a random variable associated with the solution of a stochastic partial differential equation (SPDE) is approximated using a truncated series expansion. The SPDE is solved using two stochastic finite element (SFEM) methods, Monte Carlo sampling and the stochastic Galerkin method with global polynomials. The random variable is a functional of the solution of the SPDE, such as the average over the physical domain. The truncated series are obtained considering a finite number of terms in the Gram-Charlier or Edgeworth series expansions. These expansions approximate the PDF of a random variable in terms of another PDF, and involve coefficients that are functions of the known cumulants of the random variable. To the best of our knowledge, their use in the framework of SPDEs has not yet been explored.

研究の動機と目的

• 確率的偏微分方程式（SPDEs）の解から導出される関数的の確率密度関数（PDF）を正確に近似する課題に対処すること。これらの分布はしばしば非ガウス的である。
• 古典的な級数展開（グラム・チャイラーおよびエッジワース）をSPDEsに応用することの可能性を検討すること。理論的潜在能力は大きいが、この分野ではまだ十分に活用されていない。
• 切り捨てられた級数展開の性能と精度を、SPDE解のPDFの形状および尾部挙動を捉える点で、従来のサンプリングに基づく手法と比較すること。
• 2つの確率的有限要素法（モンテカルロサンプリングおよびグローバル多項式クラウドを用いた確率的ガレルキン）の結果から得られる累積量に基づく近似の有効性を評価すること。
• サンプリングが極めて高コストとなる状況において、モンテカルロサンプリングの代替として、計算コストが低いPDF推定の代替手法を提供すること。

提案手法

• 本手法は、領域全体の空間平均などのSPDE解の関数的である確率変数のPDFを、切り捨てられたグラム・チャイラーおよびエッジワース級数展開を用いて近似する。
• 確率変数の累積量は、2つの確率的有限要素法（モンテカルロサンプリングおよびグローバル多項式クラウド展開を用いた確率的ガレルキン法）を用いてSPDE解から計算される。
• 級数展開は、既知の基準PDF（通常は正規分布）に対する補正項として、確率変数の累積量に基づく補正項を含む形で表される。
• 級数の項数は有限に切り捨てられ、精度と計算コストのバランスをとる。高次の項は歪度および尖度の効果を捉える。
• 近似されたPDFの精度は、モンテカルロサンプリングにより得られた基準PDFと比較することで評価される。
• 真の解のPDFが既知または良好に近似可能なテストケースにおいて、本手法は定量的な近似誤差の評価が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切り捨てられたグラム・チャイラーおよびエッジワース級数は、非ガウス的特性を示すSPDE解からの関数的のPDFを効果的に近似できるか？
• RQ2 これらの級数近似の精度と収束性は、PDFの形状および尾部を捉える点でモンテカルロサンプリングと比べてどうか？
• RQ3 モンテカルロ法と確率的ガレルキン法の両方で得られる異なる確率的有限要素法からの累積量の使用が、PDF近似の品質に与える影響は何か？
• RQ4 級数展開の高次項が近似を顕著に改善する状況とは何か？また、低次項の展開で十分な状況はどのようなものか？
• RQ5 これらの級数展開は、SPDEにおけるPDF推定のための完全なサンプリングに比べて、どの程度計算コストが低い代替手段として有効に機能するか？

主な発見

• 切り捨てられたグラム・チャイラーおよびエッジワース級数は、広範なサンプリングを要せず、非ガウス型PDFの近似に実用的かつ計算コストが低い手法を提供する。
• 使用する累積量の数が増えるほど近似の品質が向上し、特に非ガウス分布において重要な歪度および尖度を捉える能力が向上する。
• 同じ計算コストにおいて、確率的ガレルキン法はモンテカルロサンプリングよりもより正確な累積量推定を提供し、結果としてより優れたPDF近似が得られる。
• 本手法は高密度領域のPDF形状を効果的に捉え、尾部においても妥当な性能を示すが、極めて歪度が大きくまたは尾部が重い分布では精度が低下する傾向がある。
• 特に高分解能のPDF推定が必要な状況では、モンテカルロサンプリングに比べて顕著な計算コストの削減が達成される。
• 確率的ガレルキンフレームワークにおけるグローバル多項式クラウドの使用により、滑らかで安定した累積量の計算が可能となり、信頼性の高い級数展開係数の算出に不可欠である。