[論文レビュー] Approximation of quasi-stationary distributions for 1-dimensional killed diffusions with unbounded drifts

Denis Villemonais|ArXiv.org|May 22, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、原点で吸収される一次元 Itô 確率過程における非定常分布（QSD）をシミュレーションに基づく手法で近似する方法を提示する。まず、有界区間における有界ドリフトを持つ過程に制限し、その後、Fleming-Viot 型の相互作用粒子系を適用することで、Yaglom 極限の数値近似が可能となる。ロジスティック Feller 型および Wright-Fisher 型の拡散過程におけるシミュレーションにより、有効性が検証された。

ABSTRACT

The long time behavior of an absorbed Markov process is well described by the limiting distribution of the process conditioned to not be killed when it is observed. Our aim is to give an approximation's method of this limit, when the process is a 1-dimensional Itô diffusion whose drift is allowed to explode at the boundary. In a first step, we show how to restrict the study to the case of a diffusion with values in a bounded interval and whose drift is bounded. In a second step, we show an approximation method of the limiting conditional distribution of such diffusions, based on a Fleming-Viot type interacting particle system. We end the paper with two numerical applications : to the logistic Feller diffusion and to the Wright-Fisher diffusion with values in $]0,1[$ conditioned to be killed at 0.

研究の動機と目的

• 境界で吸収される非有界ドリフトを有する1次元拡散過程における非定常分布（QSD）の数値的に実行可能な近似手法の開発。
• ドリフトが非有界である場合に標準的な相互作用粒子系が定義可能でないという課題に対処すること。
• 有界近似のQSDが元の非有界ドリフト拡散過程の真のQSDに収束するための条件の確立。
• スペクトル理論的手法が明示的な値を導けない場合に、QSDを計算するための実用的でシミュレーション可能な手法の提供。

提案手法

• 元の非有界ドリフト拡散過程（0, ∞）を、有界ドリフトを持つ（ε, 1/ε）上での拡散過程の列に近似することで、定義可能性を確保する。
• 各ε > 0に対して、N粒子のFleming-Viot型相互作用粒子系を用いて、有界拡散過程のQSD νεを近似する。
• 各粒子は（ε, 1/ε）上で拡散運動を経て吸収されるまで進化し、吸収された場合、生存中のランダムに選ばれた粒子の位置にジャンプする。
• N → ∞ のとき、粒子系の経験測度はνεに法的に収束し、ε → 0 のときνεは真のQSD νに収束する。
• ドリフトに関する条件（H1）および（H3）の下で、理論的収束が確立され、νεのtightnessと弱収束が保証される。
• 長時間スケールでの経験測度の時間平均を用いて数値近似が行われ、エルゴディック定理が活用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界ドリフトを有する1次元拡散過程（原点で吸収）の非定常分布は、近似可能か？
• RQ2 有界区間におけるQSDの列νεが、非有界ドリフト拡散過程の真のQSDに収束するための条件は何か？
• RQ3 ドリフトが非有界である場合に、Fleming-Viot型相互作用粒子系は定義可能で効果的か？
• RQ4 スペクトル手法が明示的表現を導けない場合、Yaglom 極限はどのように数値的に推定可能か？
• RQ5 ドリフトパラメータの変化が非定常分布の形状および定義域に与える影響は何か？

主な発見

• 非有界ドリフトを有するロジスティック Feller 拡散過程のQSDは、提案された粒子系により成功裏に近似され、2次ドリフト係数cの増加に伴い、QSDの定義域が0に近づくことが示された。
• Wright-Fisher 拡散過程では、粒子系の近似結果が既知の解析的QSD密度2−2xとよく一致し、手法の正確性が確認された。
• N粒子系の経験測度はN → ∞ のときνεに収束し、ε → 0 のときνε → νとなるため、理論的妥当性が確立された。
• 条件（H1）および（H3）を満たす限り、ドリフトq(x)が境界で発散しても、この手法は有効に機能する。
• ε = 0.001およびN = 1000の数値シミュレーションにより、極限QSDの安定的かつ高精度な近似が得られ、実用的妥当性が示された。
• 時間平均を用いたシミュレーションにより、経験測度が真のQSDに収束することが検証され、粒子系のエルゴディック性が確認された。