[論文レビュー] Approximation of random diffusion equation by nonlocal diffusion equation in free boundary problems of one space dimension

Yihong Du, Wenjie Ni|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元空間における自由境界を伴う非局所拡散方程式の解が、対応する局所拡散方程式の解に収束することを確立する。適切に構築された上界解と下界解、およびカーネルスケーリング $J_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}J(\frac{x}{\epsilon})$ を用いて、カーネル $J$ に対して適切な正則性およびcompactly supportedな仮定のもとで、近似誤差が $O(\epsilon^{\gamma})$ に減少することを証明する。この結果は、既知の固定領域近似を、より複雑な自由境界設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We show how the Stefan type free boundary problem with random diffusion in one space dimension can be approximated by the corresponding free boundary problem with nonlocal diffusion. The approximation problem is a slightly modified version of the nonlocal diffusion problem with free boundaries considered in [4,8]. The proof relies on the introduction of several auxiliary free boundary problems and constructions of delicate upper and lower solutions for these problems. As usual, the approximation is achieved by choosing the kernel function in the nonlocal diffusion term of the form $J_ε(x)=\frac 1εJ(\frac xε)$ for small $ε>0$, where $J(x)$ has compact support. We also give an estimate of the error term of the approximation by some positive power of $ε$.

研究の動機と目的

• 1次元空間において、局所（確率的）拡散を伴うステファノ型自由境界問題を、対応する非局所拡散モデルによって近似することを確立すること。
• 固定領域問題からの既知の収束結果を、領域が時間とともに変化するより複雑な自由境界設定へと拡張すること。
• 適切な正則性およびカーネル条件のもとで、非局所モデルと局所モデルの解の間の収束速度を定量化すること。
• 補助的な自由境界問題を構築し、微細な上界解と下界解を用いて動的および境界の進化を制御すること。

提案手法

• カーネル $J_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}J(\frac{x}{\epsilon})$ を持つ非局所拡散作用素を導入し、ここで $J$ はcompactly supportedであり、$\int_{\mathbb{R}} J(x)dx = 1$、$J(0) > 0$、$J$ は偶関数を満たす。
• 比較関数として機能する、修正された境界ダイナミクスを有する補助的自由境界問題を構築する。
• 境界移動を制御し、比較原理の適用可能性を保証するために、摂動項 $\epsilon M(\frac{x - \underline{g}_\epsilon(t)}{\epsilon})$ を含む上界解および下界解を構成する。
• 比較原理を適用して、十分に小さい $\epsilon > 0$ に対して $u_\epsilon \geq v_\epsilon$ および $g_\epsilon \leq \underline{g}_\epsilon$、$h_\epsilon \geq \underline{h}_\epsilon$ を示し、$\epsilon \to 0$ のときの収束を導く。
• 非局所作用素と局所作用素の差を分析することで誤差推定を導出し、$C_* = \left[\int_0^1 J(z)z^2 dz\right]^{-1}$ を用いて $J$ の2次モーメントを活用する。
• 補助解の一様収束を用いた極限議論により、非局所解が $\epsilon \to 0$ のとき局所解に収束することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所拡散を伴う自由境界問題の解は、1次元空間において、対応する非局所拡散モデルによって近似可能か？
• RQ2 カーネルスケーリングパrameter $\epsilon \to 0$ のとき、非局所解と局所解の間の収束速度は何か？
• RQ3 非局所問題の境界ダイナミクスは、どのように制御すれば局所問題の境界進化に収束するか？
• RQ4 カーネル $J$ および初期データにどのような条件下で、非局所解が有限時間区間上で一様に局所解に収束するか？
• RQ5 適切に構築された上界解と下界解を用いて、非局所自由境界問題へ比較原理を拡張できるか？

主な発見

• 非局所自由境界問題の解 $u_\epsilon$ は、任意の有限時間区間 $[0,T]$ において、局所自由境界問題の解 $v$ に一様収束する。$\epsilon \to 0$ のとき。
• 収束速度は $O(\epsilon^\gamma)$ と推定され、$\gamma > 0$ であり、その正確な値はカーネルおよび初期データの正則性に依存する。
• 標準的な仮定のもとで収束が成立する：$J$ はcompactly supported、$J \in C^0$、$J(0) > 0$、$J$ は偶関数、$\int_{\mathbb{R}} J(x)dx = 1$ を満たし、$f$ は局所リプシッツ連続、$v_0 \in C^2$ である。
• 証明は、修正された境界速度を有する補助問題を構築し、スケーリングされた摂動項を含む上界解および下界解を用いることで成り立つ。
• 補助パrameter $\underline{\mu} > \mu$ であれば、非局所解は一様に局所解に収束しないことが示されたが、このような $(J,M)$ のペアは未検証のままである。
• 既知の固定領域収束結果を自由境界ケースへと拡張し、動的設定下で非局所モデルと局所モデルの間の明確な数学的リンクを確立した。