[論文レビュー] Approximation of Riemannian measures by Stein's method

James Thompson|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、半群表現とビズム型部分積分公式を用いて、多様体上の確率測度の近似のためのリーマン幾何的拡張版スティーン法を開発する。曲率条件の下でスティーン方程式の解の微分推定を用いて Wasserstein 距離の境界を確立し、多変量正規近似をリーマン的設定に一般化する。リッチ曲率とリーマン曲率テンソルの境界に明示的な依存関係を示す。

ABSTRACT

In this article, we present the theoretical basis for an approach to Stein's method for probability distributions on Riemannian manifolds. Using a semigroup representation for the solution to the Stein equation, we use tools from stochastic calculus to estimate the derivatives of the solution, yielding a bound on the Wasserstein distance. We first assume the Bakry-Emery-Ricci tensor is bounded below by a positive constant, after which we deal separately with the case of uniform approximation on a compact manifold. Applications of these results are currently under development and will appear in a subsequent article.

研究の動機と目的

• リーマン多様体へのスティーン法の拡張により、分布近似を実現すること。
• 曲がった空間におけるスティーン方程式の解の微分推定ツールの欠如に応えること。
• 与えられた分布と多様体上の目的測度との間の定量的 Wasserstein 距離の境界を確立すること。
• バン、シャオ、シュウの多変量正規近似を曲率制約付きの一般リーマン設定に一般化すること。
• 幾何確率および多様体上の確率的解析における将来的な応用の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 完全なリーマン多様体上でのスティーン方程式の解の半群表現を用いる。
• 局所マルティンゲール技法から導かれるビズム型部分積分公式を適用し、半群の勾配、ヘッセ行列、および3階微分を推定する。
• 確率的微分積分法と伊藤等式を用いて、曲率仮定に基づき解の微分を境界付ける。
• 下界としてのリッチ曲率に下からの境界 $ K > 0 $ を仮定し、グロワールの不等式を用いて半群の明示的微分推定を導出する。
• カマーマーソン＝マーチン過程を用いて、半群の1階、2階、3階微分のための新しい公式群を導入する。
• 曲率条件と位移および剰余項のモーメント推定を組み合わせることで Wasserstein 距離の境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティーン法をリーマン多様体に一般化し、確率測度を近似するにはどうすればよいか？
• RQ2 多様体上でのスティーン方程式の解の微分を制御するのに十分な曲率条件は何か？
• RQ3 ビズム型公式を半群の2階微分（ヘッセ行列）および3階微分に拡張できるか？
• RQ4 曲率制約下での多様体上での分布の Wasserstein 距離における収束速度は何か？
• RQ5 近似の剰余項は多様体の幾何構造および確率変数のカップリングにどのように依存するか？

主な発見

• バクリ＝エメリー＝リッチテンソル $ \mathop{\rm Ric}_\psi \geq K $ に対して下界 $ K > 0 $ が成り立つとき、確率変数 $ W $ と目的測度 $ \mu_\psi $ 間の Wasserstein 距離は、すべての $ \lambda > 0 $ に対して $ \mathcal{W}(\mathcal{L}(W), \mu_\psi) \leq C \left( \frac{1}{\lambda} \mathbb{E}[|\delta|^3 (|\log|\delta|| \vee 1)] + \mathbb{E}[|R_1|] + \mathbb{E}[|R_2|] \right) $ で有界である。ここで $ \delta = d(W, W') $ である。
• 境界式に $ \log|\delta| $ 項が現れるが、これは多様体の幾何的性質に起因し、非平坦な設定における Wasserstein 制御に不可欠である。
• この対数項を除いた場合、境界は $ C^2 $-距離に置き換えられ、より弱い距離となるが、$ \log|\delta| $ 依存性を回避できる。
• 曲率および有界性仮定の下で半群の微分推定が確立される：$ \|\nabla P_t f\|_\infty \leq e^{-Kt} \|\nabla f\|_\infty $、$ \|\nabla dP_t f\|_\infty \leq \frac{C_1 e^{-Kt}}{\sqrt{1 \wedge t}} \|\nabla f\|_\infty $、および $ \|\nabla\nabla dP_t f\|_\infty \leq \frac{C_2 e^{-Kt}}{1 \wedge t} \|\nabla f\|_\infty $。
• 結果は、多様体 $ M = \mathbb{R}^n $ のユークリッド空間の場合に、バン、シャオ、シュウの境界を回復し、既存の多変量正規近似理論と整合性を確認する。
• 本手法は、局所マルティンゲール技法およびカマーマーソン＝マーチン過程を用いて導出された、半群の1階、2階、3階微分の完全なビズム型公式群に依存している。