[論文レビュー] Approximation of smallest linear tree grammar

Artur Jeż, Markus Lohrey|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Algorithms and Data Compression被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、与えられたサイズnの木に対して、最小のこのような文法のサイズgと最大記号ランクrを用いて、サイズO(rg + r g log(n/rg))の線形文脈自由木文法を線形時間で構築するTtoGというアルゴリズムを提示する。この手法は、文字列再圧縮技術を木構造に拡張し、文法ベースの木圧縮における最初の既知の近似比O(log(n/g))を達成した。入力サイズにおける対数的要因とrにおける定数的要因を有する。

ABSTRACT

A simple linear-time algorithm for constructing a linear context-free tree grammar of size O(rg + r g log (n/r g))for a given input tree T of size n is presented, where g is the size of a minimal linear context-free tree grammar for T, and r is the maximal rank of symbols in T (which is a constant in many applications). This is the first example of a grammar-based tree compression algorithm with a good, i.e. logarithmic in terms of the size of the input tree, approximation ratio. The analysis of the algorithm uses an extension of the recompression technique from strings to trees.

研究の動機と目的

• 最小の線形文脈自由木文法のサイズに対して、保証された良い近似比を有する文法ベースの木圧縮アルゴリズムの開発。
• 従来のSLLP構築に用いられた文字列再圧縮技術を、木構造データに拡張すること。
• TreeRePairのような既存の木文法圧縮器に理論的保証の欠如があること、特にO(log n)サイズで圧縮可能な木に対してΩ(n)サイズの文法を生成する可能性があることへの対処。
• 効率的で近似的に最小に近い木文法圧縮の理論的基盤を提供すること。
• 非線形文法、グラフ文法、および順序なしまたはランクなしの木へのこのアプローチの拡張可能性の探求。

提案手法

• 文字列圧縮から適応された二段階再圧縮技術（ブロック圧縮とペア圧縮）を木構造に繰り返し適用する。
• ブロック圧縮は、f(a, ..., a)形式の繰り返し部分木を新しい記号に置き換えることで、同一の部分木内の冗長性を低減する。
• ペア圧縮は、左および右の部分木のペアのすべての出現を新しい記号に置き換えるが、圧縮を最大化するための分割戦略を用いる。
• アルゴリズムは段階を経て木を処理し、各段階で現在の圧縮形を表す文法を維持し、各段階で木のサイズを定数倍小さくする。
• 新しい記号を導入するコストは、潜在関数の議論により上限が示され、総文法サイズがO(rg + r g log(n/rg))であることが示される。
• ランクなしの木に対しても、ノードに人工的なランクを付与することで、同じ近似保証を維持するように拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文法ベースの木圧縮アルゴリズムは、最小の線形文脈自由木文法のサイズgに対して、近似比O(log(n/g))を達成できるか？
• RQ2 文字列再圧縮技術は、効率性と近似保証を維持したまま、木構造に一般化可能か？
• RQ3 最大記号ランクrが木文法圧縮の近似比に与える影響は何か？
• RQ4 再圧縮アプローチは、順序なしまたはランクなしの木を処理するために適応可能であり、圧縮効率を損なわないか？
• RQ5 この手法は、非線形またはグラフベースの文法に拡張可能であり、さらに高い圧縮を達成できるか？

主な発見

• TtoGアルゴリズムは、サイズnの任意の入力木に対して、最小の線形文脈自由木文法のサイズgを用いて、サイズO(rg + r g log(n/rg))の線形文脈自由木文法を構築する。
• 最大記号ランクrが有界である場合、近似比がO(log(n/g))であることが保証され、これは文法ベースの木圧縮における最初の結果である。
• アルゴリズムは線形時間で実行され、大規模な木データに対して効率的である。
• 解析により、圧縮中に新しい記号を導入するコストがO(rg + r g log(n/rg))で上限が示され、主に対数的要因が支配的であることが判明した。
• この方法は木構造に強く、順序付きおよび順序なしのランク付き木に対して有効であり、人工的なランク付けによりランクなしの木に対しても適応可能である。
• このアプローチは、非線形文法やグラフ文法に関する今後の研究の理論的基盤を提供し、さらなる圧縮向上の可能性を示唆している。