[論文レビュー] Approximation of smooth functions using Bernstein polynomials in multiple variables

Adrian Fellhauer|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多変数 Bernstein 多項式を用いて、任意の ℝᵈ 上の滑らかな多変数関数が、すべての導関数に関して局所的に一様に、有理数係数多項式の単一の列によって近似可能であることを確立する。証明は初等的な解析学と背理法に依拠し、高度な集合論的公理を避けており、古典的な単変数収束を多次元における全導関数収束に拡張する。

ABSTRACT

In this survey, we use (more or less) elementary means to establish the well-known result that for any given smooth multivariate function, the respective multivariate Bernstein polynomials converge to that function in all derivatives on each compact set. We then go on to strengthen that result to obtain that any smooth function on $\mathbb R^d$ may be approximated locally uniformly in all derivatives by \emph{one} sequence of polynomials. We will use neither the axiom of choice nor the power set axiom. We will use the method of proof by contradiction.

研究の動機と目的

• 滑らかな関数 f ∈ C∞(ℝᵈ) がコンパクト集合上ですべての導関数に関して近似可能であることを確立すること。
• Weierstrass の近似定理の確率的証明を多変数関数に拡張し、導関数収束を達成すること。
• 滑らかな関数およびそのすべての導関数に関して、局所的に一様収束する有理数係数多項式の単一の列を構成すること。
• 証明において強力な集合論的公理（例えば選択公理、冪集合公理）に依存しないこと。
• 確率的形式的記法を用いずに、背理法と補間技術を用いた構成的で初等的な証明を提供すること。

提案手法

• 多項式の多重指数記法を用いて、[0,1]ᵈ 上の単変数 Bernstein 多項式を多変数関数に一般化する。
• 多重指数の次数に関する帰納法を用いて、多変数 Bernstein 多項式の点ごとの収束（関数およびその導関数）を証明する。
• 背理法を用いて導関数の収束を確立する：失敗を仮定し、コンパクト性と連続性を用いて矛盾を導く。
• 三角不等式を用いて、関数の導関数とその Bernstein 近似の導関数との差を評価する。
• 相似変換（ホモテティック変換）を適用して、[0,1]ᵈ での収束を任意のコンパクト集合 [-n,n]ᵈ に拡張する。
• 一様近さとノルムの上限を用いて、実数係数 Bernstein 多項式を有理数係数多項式に近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈ 上の滑らかな関数は、任意のコンパクト部分集合上で、すべての導関数に関して、単一の多項式列によって近似可能か？
• RQ2 多変数 Bernstein 多項式は、コンパクト集合上で関数およびすべての導関数に関して一様収束するか？
• RQ3 有理数係数多項式のみを用いて近似可能であり、かつ導関数収束を保つことができるか？
• RQ4 確率的道具や強い集合論的公理を用いずに、多変数導関数収束を証明することは可能か？
• RQ5 初等的な解析学と背理法のみを用いて、導関数の収束をどのように確立できるか？

主な発見

• 任意の滑らかな関数 f ∈ C∞(ℝᵈ) に対して、多変数 Bernstein 多項式は ℝᵈ の任意のコンパクト部分集合上で、すべての導関数に関して収束する。
• 収束はすべての導関数に関して局所的に一様である。つまり、∂βf と ∂βpₙ の差の上界ノルムが、コンパクト集合上で 0 に収束する。
• すべての β ≤ γ に対して、∂βqₙ → ∂βf が局所的に一様に収束するような、有理数係数多項式の単一の列 (qₙ) が存在する。ただし f ∈ Cγ(ℝᵈ) とする。
• 証明は選択公理および冪集合公理に依存せず、初等的な解析学と背理法にのみ依拠している。
• 各 n に対して、h(x) = 2nx − n という相似変換を用いて、[0,1]ᵈ での収束を [-n,n]ᵈ に拡張する。
• Bernstein 多項式の有理数近似を構成し、その導関数の差が ϵ|α|α! で有界になるようにする。これにより一様な制御が可能になる。