[論文レビュー] Approximation of Stochastic Volterra Equations with kernels of completely monotone type

Aurélien Alfonsi, Ahmed Kebaier|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、完全単調カーネル（Hurst指数 H ∈ (0, 1/2) の特異的分数カーネルを含む）を有する高次元確率ボラティリティ方程式（SVEs）の近似のための多要因Eulerスキームを提案する。カーネル近似を用いたマルコフ表現を活用することで、一様強い収束を達成する効率的なEuler離散化が可能となり、計算コストを大幅に削減する。これは、粗いHestonモデルにおけるオプションプライシングにおいて、標準的なSVE Eulerスキームを上回る性能を示す。

ABSTRACT

In this work, we develop a multifactor approximation for $d$-dimensional Stochastic Volterra Equations (SVE) with Lipschitz coefficients and kernels of completely monotone type that may be singular. First, we prove an $L^2$-estimation between two SVEs with different kernels, which provides a quantification of the error between the SVE and any multifactor Stochastic Differential Equation (SDE) approximation. For the particular rough kernel case with Hurst parameter lying in $(0,1/2)$, we propose various approximating multifactor kernels, state their rates of convergence and illustrate their efficiency for the rough Bergomi model. Second, we study a Euler discretization of the multifactor SDE and establish a convergence result towards the SVE that is uniform with respect to the approximating multifactor kernels. These obtained results lead us to build a new multifactor Euler scheme that reduces significantly the computational cost in an asymptotic way compared to the Euler scheme for SVEs. Finally, we show that our multifactor Euler scheme outperforms the Euler scheme for SVEs for option pricing in the rough Heston model.

研究の動機と目的

• リプシッツ連続係数と完全単調カーネル（特異的分数カーネルを含む）を有するd次元SVEsのための多要因近似を開発すること。
• 異なるカーネルを有するSVEs間のL²推定を確立し、元のSVEとその多要因SDE近似との間の誤差を定量的に評価すること。
• 直接SVE Eulerスキームと比較して、漸近的に計算コストを低減する新しい多要因Eulerスキームを設計すること。
• 数値実験を通じて、粗いHestonモデルにおけるオプションプライシングにおいて、本スキームの優位性を示すこと。

提案手法

• 区間[0, K]上での切断および離散化された測度を用いて、SVEのカーネルを指数関数の和で近似し、非マルコフ型SVEを高次元マルコフ型SDEに変換する。
• 異なるカーネルを有するSVEs間のL²推定を導出し、多要因近似の非漸近的誤差バウンドを提供する。
• N個の時間ステップを持つ一様グリッド上で、得られた多要因SDEにEuler離散化を適用し、近似カーネルに関して一様収束性を証明する。
• 分数カーネルを指数関数の和で近似することで、粗いBergomiおよび粗いHestonモデルのための多要因Eulerスキームを構築する。
• 統合ボラティリティとボラティリティ過程の両方に同一の離散化スキームを適用し、一貫性があり効率的なモンテカルロシミュレーションを可能にする。
• 多要因近似のマルコフ構造を活用して、分散低減およびマルチレベルモンテカルロ技術を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全単調カーネルを有する元のSVEに対して、多要因SDE近似の強い収束速度は何か？
• RQ2 SVEとその多要因近似との間の誤差は、カーネル近似の品質および切断パラメータにどのように依存するか？
• RQ3 多要因Eulerスキームは近似カーネルに関して一様収束性を達成できるか？その収束速度は何か？
• RQ4 時間ステップが小さくなるに従って、多要因Eulerスキームの計算コストは直接SVE Eulerスキームと比較してどのように変化するか？
• RQ5 粗いボラティリティモデル（例：粗いHeston）におけるオプションプライシングにおいて、多要因スキームは標準的なSVE Eulerスキームを上回る性能を示せるか？

主な発見

• 多要因Eulerスキームは、近似カーネルに関して一様強い収束性を達成しており、異なるカーネル近似に対してもロバストであることが保証される。
• H ≈ 0.1 の粗いカーネルに対しては、主な誤差がカーネル近似そのものではなく、元のSVE自体に起因するため、粗いカーネル近似でも十分な精度が得られる。
• 多要因Eulerスキームは、直接SVE Eulerスキームと比較して、計算コストを漸近的に低減する。Nが増加するに従い、計算時間のスケーリングが著しく良好になる。
• 数値結果から、多要因スキームはヨーロピアンオプションおよびルックバックオプションの価格を、SVE Eulerスキームと同等の精度で、はるかに低い計算時間で得られることを示している。
• N = 320の場合、ルックバックオプションのプライシングにおいて、多要因スキームは775秒で完了したが、SVE Eulerスキームは3130秒を要し、4倍の高速化が達成された。