[論文レビュー] Approximation of subharmonic functions

Igor Chyzhykov|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン測度に下界が与えられたもとで、複素平面上の亜調和関数を整関数の対数で近似するための鋭い L1 近似評価を確立する。Riesz 測度がゆっくりと増加するが、一定の速度で増加する（例えば、ゆっくり変動する関数 ψ を含む条件を満たす）場合、半径 R の円板上での L1 ノルムにおける近似誤差は O(R² log ψ(R)) であり、この評価は最適である。Lyubarskii と Malinnikova の先行研究を一般化する。

ABSTRACT

In certain classes of subharmonic functions u on C distinguished in terms of lower bounds for the Riesz measure of u, a sharp estimate is obtained for the rate of approximation by functions of the form log |f(z)|, where f is an entire function. The results complement and generalize those recently obtained by Yu. Lyubarskii and Eu. Malinnikova.

研究の動機と目的

• 亜調和関数の整関数の対数の絶対値による既存の L1 近似評価を改善すること。
• Lyubarskii と Malinnikova が提唱した強い下界条件を満たさない Riesz 測度における近似速度のギャップを解消すること。
• Riesz 測度の自然な成長条件の下で、近似誤差評価の鋭さを確立すること。
• M. Sodin が提起した疑問、すなわち、定数 α ∈ [0,1) が L1 ノルムにおける近似速度を改善できるかを解消すること。

提案手法

• Riesz 測度の成長をパラメータ化するためのゆっくり変動する関数 ψ のクラスを導入する。
• R における円板 |z| < R における |u(z) − log|f(z)|| の積分的推定を、Lebesgue 測度に関して行う。
• Nevanlinna 特性関数と数え上げ関数を用いて、f の零点分布と u の Riesz 測度を比較する。
• 積分推定 ∫ |n(t,f) − n(t,u) + α| / t dt の形を用いた背理法により、α < 1/2 の場合にこのような f の存在を除外する。
• Riesz 測度が条件 μ({R < |z| ≤ Rψ(R)}) > 1 を満たすようなモデル亜調和関数 uψ(z) = ½∑ log|1 − z/rk| を構成する。
• 数え上げ関数と Nevanlinna 近接関数の漸近的解析を用いて、近似誤差の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riesz 測度が強い下界条件を満たさない弱い下界条件を満たす場合、L1 ノルムにおける近似誤差を改善できるか？
• RQ2 Riesz 測度が μ({R < |z| ≤ Rψ(R)}) > 1 を満たすとき、L1 近似誤差の O(R² log ψ(R)) 評価は鋭いか？
• RQ3 Riesz 測度がゆっくりと増加する場合、L1 ノルムにおける近似誤差が対数補正項 log ψ(R) を含む形で一様に有界になるか？
• RQ4 Riesz 測度の条件が与えられたもとで、∫|u − log|f|| dm = O(R²) を満たす整関数 f が存在するか？
• RQ5 Riesz 測度が任意のべきよりも遅く増加する場合、O(R² log R) よりも良い近似速度が達成可能か？

主な発見

• ゆっくり変動する関数 ψ に対して μ({R < |z| ≤ Rψ(R)}) > 1 を満たす Riesz 測度をもつ亜調和関数 u に対して、|z| < R 上での L1 近似誤差は O(R² log ψ(R)) である。
• 評価 O(R² log ψ(R)) は鋭い：同じ測度条件を満たすモデル亜調和関数 uψ の構成により、より良い速度は不可能であることが示された。
• Riesz 測度が円環で定数以上に増加しない限り、近似誤差は O(R²) で有界にできない。これは与えられた ψ 増加条件では成立しない。
• α ∈ [0,1) に対して、∫|u − log|f| − α log|z|| dm = O(R²) を満たす整関数 f は、Riesz 測度条件が成立しても存在しない。
• Lyubarskii と Malinnikova の先行結果を一般化・鋭くし、任意の位数の亜調和関数への近似枠組みを拡張した。