[論文レビュー] Approximation of the invariant measure with an Euler scheme for Stochastic PDE's driven by Space-Time White Noise

Charles-Édouard Bréhier|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 85

ひとこと要約

この論文は、空間時間白色ノイズによって駆動される確率的偏微分方程式（SPDE）の不変測度への半陰的Eulerスキームの弱収束を確立する。有界な非線形性および散逸性の仮定の下で、任意の $0 < \kappa < 1/2$ に対して、$\mathcal{C}_b^2$ 測度関数（有界な微分を備える）に対して、時間に一様に、弱収束の次数 $1/2 - \kappa$ で数値スキームが不変測度を近似することを証明する。

ABSTRACT

In this article, we consider a stochastic PDE of parabolic type, driven by a space-time white-noise, and its numerical discretization in time with a semi-implicit Euler scheme. When the nonlinearity is assumed to be bounded, then a dissipativity assumption is satisfied, which ensures that the SDPE admits a unique invariant probability measure, which is ergodic and strongly mixing - with exponential convergence to equilibrium. Considering test functions of class $\\mathcal{C}^2$, bounded and with bounded derivatives, we prove that we can approximate this invariant measure using the numerical scheme, with order 1/2 with respect to the time step.

研究の動機と目的

• 空間時間白色ノイズによって駆動される確率的偏微分方程式の不変確率測度の近似を、時間離散化された数値スキームを用いて確立すること。
• Eulerスキームの弱収束誤差が最終時刻 $T = m\tau \to \infty$ の際にも有界のまま保たれるかどうかを調査すること。これにより、不変測度の近似が可能となる。
• 有限時刻SDEにおける弱収束結果を、エルゴディックで強く混合するダイナミクスを有する無限時刻SPDEへ拡張すること。
• 最終時刻 $T$ に依存しない誤差バウンドを導出し、不変測度への一様収束を保証すること。
• 空間時間白色ノイズを伴う無限次元的でエルゴディックなSPDEの文脈において、数値スキームの収束速度を分析すること。

提案手法

• ヒルバート空間 $H = L^2(0,1)$ 上でSPDEを、円柱型ブラウン運動によって駆動される抽象的確率的発展方程式として定式化する。
• 時間ステップ $\tau$ を用いた半陰的Eulerスキームを適用し、空間離散化を行わずにSPDEの構造を保存する。
• SPDEに関連するコルモゴロフ方程式を用いて、生成作用素とテスト関数への作用を通じて弱収束を分析する。
• 抽象的ワーナー空間における部分積分公式を用いて、コルモゴロフ方程式の解における誤差を推定する。
• 作用素 $(-B)^{-\alpha}$ を含むスペクトル推定を用いて、半群およびその導関数の正則性と減衰を制御する。
• 時間正則化と誤差の複数の項（$a_k, b_k, c_k$）への分解を実行し、$m$ および $\tau$ に一様なバウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間白色ノイズによって駆動される放物型SPDEの不変測度を、半陰的Eulerスキームが近似できるか？
• RQ2 数値スキームの不変測度への弱収束速度は、時間に一様にどの程度か？
• RQ3 最終時刻 $T = m\tau \to \infty$ の際にも弱誤差が有界に保たれるか？これにより不変測度の近似が可能か？
• RQ4 テスト関数の正則性およびノイズの構造が収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 指数的エルゴディック性を有するSPDEに対して、コルモゴロフ方程式フレームワークを用いて、時間に一様な誤差解析が可能か？

主な発見

• 有界な非線形性および散逸性の仮定の下で、空間時間白色ノイズによって駆動されるSPDEは、一意で、エルゴディックかつ強く混合する不変確率測度を有する。
• 半陰的Eulerスキームは、任意の $0 < \kappa < 1/2$ に対して、時間に一様に弱収束次数 $1/2 - \kappa$ で不変測度を近似する。
• 誤差バウンドは $C(1 + |y|^3)igl((m-1)^{-1/2 + \kappa} + 1\bigr)\tau^{1/2 - \kappa}$ の形を取り、$m \to \infty$ の際にも一様に保たれる。
• 収束速度は最終時刻 $T = m\tau$ に依存せず、長時間シミュレーションによる不変測度の近似が可能である。
• 解析は、コルモゴロフ方程式の解の指数的減衰および生成作用素のスペクトル特性に依存する。
• 誤差分解および部分積分技術により、無限次元設定においても、時間ステップにわたる弱誤差項を一様に制御可能である。