[論文レビュー] Approximation properties determined by operator ideals

Sonia Berrios, Geraldo Botelho|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、与えられた作用素イデアル $\/cal I$ 内の作用素によるコンパクト集合上の作用素の均一近似として定義されるバナッハ空間の $\sigma$-近似性質 ($\cal I$-AP) を導入し、その性質を調査する。バナッハ空間 $E$ が $\cal I$-AP を持つことと、有界な正則関数空間 $\mathcal{H}^\infty(U;F)$ が $\cal I$-作用素に関して位相的に閉じていることは同値であり、この関係は予対象 $G^\infty(U)$ を通じて作用素イデアルと正則関数空間を結びつける。本研究は、正則および多項式的設定における近似性質に関する既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

Given an operator ideal I, a Banach space E has the I-approximation property if operators on E can be uniformly approximated on compact subsets of E by operators belonging to I. In this paper the I- approximation property is studied in projective tensor products, spaces of linear functionals, spaces of homogeneous polynomials (in particular, spaces of linear operators), spaces of holomorphic functions and their preduals.

研究の動機と目的

• 任意の作用素イデアル $\cal I$ に対して $\cal I$-近似性質を定義し、その性質を分析することで、古典的近似性質を一般化すること。
• 射影的テンソル積、線形汎関数空間、同次多項式、正則関数空間において $\cal I$-AP を調査すること。
• バナッハ空間 $E$ の $\cal I$-AP と、$\tau_\gamma$ 位相における $\cal I$-構造を持つ正則関数の閉包との間の位相的同値性を確立すること。
• 作用素イデアルの枠組みを用いて、正則および多項式的設定における近似性質に関する既知の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 作用素イデアル $\cal I$ に対して $\cal I$-AP を $\mathcal{L}(E;E) = \overline{\mathcal{I}(E;E)}^{\tau_c}$ として定義し、ここで $\tau_c$ はコンパクト開位相を表す。
• 正則関数空間 $\mathcal{H}^\infty(U;F)$ の予対象 $G^\infty(U)$ の普遍的性質を用いて、作用素イデアルと正則関数を関連付ける。
• $\mathcal{H}^\infty(U;F)$ 上の位相 $\tau_\gamma$ を、半ノルム $p(f) = \sup_j \alpha_j \|f(x_j)\|$ によって生成することで、正則関数の収束を研究する。
• 任意のバナッハ空間 $F$ に対して $\mathcal{H}^\infty(U;F) = \overline{\mathcal{I} \circ \mathcal{H}^\infty(U;F)}^{\tau_\gamma}$ が成り立つことと、$G^\infty(U)$ が $\cal I$-AP を持つことは同値であることを証明する。
• 正則関数空間 $\mathcal{H}^\infty(U;F)$ 上の写像 $f \mapsto T_f$ と $\mathcal{L}(G^\infty(U);F)$ 間の同型を用いて、正則関数から線形作用素への性質の移行を行う。
• 作用素イデアル $\cal I$ の性質と条件 $\cal{L}[\cal{I}] \subseteq \cal{I} \circ \cal{L}$ を用いて、証明における閉包性および合成不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた作用素イデアル $\cal I$ に対して、バナッハ空間 $E$ がいつ $\cal I$-近似性質をもつのか。
• RQ2 $\cal I$-AP は、有界な正則関数空間 $\mathcal{H}^\infty(U;F)$ 及びその予対象 $G^\infty(U)$ の構造とどのように関係しているか。
• RQ3 いつ $\mathcal{H}^\infty(U;F)$ が $\cal I$-構造を持つ正則関数に関して位相的に閉じるのか。
• RQ4 空間 $E$ の $\cal I$-AP は、$G^\infty(U)$ の $\cal I$-AP を用いて特徴づけられるか。
• RQ5 $\tau_\gamma$ 位相は、作用素イデアルと正則近似を結ぶ際に果たす役割は何か。

主な発見

• バナッハ空間 $E$ が $\cal I$-AP を持つことと、任意のバナッハ空間 $F$ に対して $\mathcal{H}^\infty(U;F) = \overline{\mathcal{I} \circ \mathcal{H}^\infty(U;F)}^{\tau_\gamma}$ が成り立つことは同値であり、これは位相的特徴づけを確立する。
• 予対象空間 $G^\infty(U)$ が $\cal I$-AP を持つことと、$E$ が $\cal I$-AP を持つことは同値であり、$E$ の近似性質とその正則的予対象の近似性質を結びつける。
• 恒等作用素 $G^\infty(U)$ が $\mathcal{I}(G^\infty(U);G^\infty(U))$ の $\tau_c$-閉包に属するのは、$E$ が $\cal I$-AP を持つときである。
• 本結果は [19, Theorem 5] を一般化し、[20, Proposition 6.6] を $\cal I$-AP を含む正則関数枠組みに拡張する。
• 同値性は条件 $\cal{L}[\cal{I}] \subseteq \cal{I} \circ \cal{L}$ の下で成り立ち、この条件により、イデアルと合成、正則的持ち上げの両方の整合性が保証される。
• 証明は、同次多項式における $\tau_c$-$\tau_\gamma$ 合致性と、正則関数が $\cal I$-作用素との合成として表現可能であることを利用している。