[論文レビュー] Approximation Properties of Locally Convex Spaces and the Problem of Uniqueness of the Trace of a Linear Operator

G. L. Litvinov|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所凸空間における有界近似性質が、すべてのフレドホルム作用素に対してトレースの一意性を保証することを確立し、関数解析学における長年の問題を解決する。近似性質だけでは不十分であるが、有界近似性質が整ったトレースが一意に定義されることを示し、バナッハ空間および局所凸空間における核作用素やフレドホルム作用素に関する先行結果を一般化する。

ABSTRACT

In the present article, it is proved that every nuclear operator in a locally convex space E has a well-defined trace if E possesses the approximation property. However, even if a space possesses the approximation property this still does not guarantee a positive solution of A. Grothendieck's uniqueness problem for this space. Below, we present an example of a quasi-complete space with the approximation property in which it is not possible to define the trace for all Fredholm operators (in the sense of A. Grothendieck). We prove that the uniqueness problem has a positive solution if E possesses the "bounded approximation property." Preliminary information and results are presented in Section 2. A number of approximation-type properties of locally convex spaces and relations between these properties are considered in Section 3. The principal results of the present study, along with certain corollaries from these results (for example, the existence of a matrix trace), may be found in Section 4.

研究の動機と目的

• 局所凸空間における線形作用素のトレースの一意性問題を解決すること。
• フレドホルム作用素のトレースが表現に依存せず一意に定義される条件を明確化すること。
• 近似性質と一意トレースの存在との関係を調査すること。
• 近似性質がトレースの一意性を保証するには不十分であり、より強い有界近似性質を必要とすることを示すこと。

提案手法

• テンソル積表現を用いて、局所凸空間におけるフレドホルム作用素および核作用素を分析する。
• 有界集合上のミンコフスキー汎関数を含む、グロテンディークの双対性枠組み（$E'$ と強双対空間）を適用する。
• 弱作用素位相収束と有界ネットを用いて、トレースの連続性を確立する。
• 有界近似性質をトレースの一意性の十分条件として導入する。
• シュャウダー基底による行列トレース構成を用いて、トレースの表現式を導出する。
• 補題5および系3を活用して、弱作用素位相下でのトレースの収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレドホルム作用素のトレースが局所凸空間で一意に定義される条件は何か？
• RQ2 近似性質だけでは、すべてのフレドホルム作用素に対して一意なトレースが保証されるか？
• RQ3 有界近似性質はトレースの一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 シュャウダー基底を備えた空間における行列トレースと抽象的トレースの関係は何か？
• RQ5 近似性質を備えた擬完備空間でも、一意なトレースを支持しない可能性はあるか？

主な発見

• 有界近似性質は、局所凸空間におけるすべてのフレドホルム作用素のトレースの一意性を保証する十分条件である。
• 近似性質を備えた擬完備な局所凸空間であっても、すべてのフレドホルム作用素に対して一意に定義されたトレースを有しない可能性がある。
• シュャウダー基底を備えた空間では、すべてのフレドホルム作用素のトレースが一意に定まり、行列トレース $\sum_{i=1}^\infty \langle e'_i, F e_i \rangle$ と一致する。
• $S(E)$ 内のネット $\{A_\nu\}$ が弱収束し、有界であるならば、任意のフレドホルム作用素 $F$ に対して $\operatorname{tr}(F A_\nu) \to \operatorname{tr}(F A)$ が成り立つ。
• 有限ランク作用素の弱極限として恒等作用素が得られることから、トレースが一意に定義され、有限次元トレースの極限に一致することが示される。
• 有界近似性質を備えないが近似性質を備えた擬完備空間が存在することから、二つの性質が異なることを示している。