[論文レビュー] Approximation properties of (p;q)-variant of Stancu-Schurer operators(Revised)

Abdul Wafi, Nadeem Rao|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、近似理論における古典的およびqアナローグの作用素を一般化する新しい(p,q)-バージョンのStancu-Schurer作用素を導入する。収束速度は2次モジュラス連続性、PeetreのK関数性、リプシッツクラスを用いて確立され、(p,q)-整数およびパラメータα, βの関数として明示的な誤差境界を含む直接近似定理が証明される。

ABSTRACT

In this article, we have introduced (p;q)-variant of Stancu-Schurer operators and discussed the rate of convergence for continuous functions. We have also discussed recursive estimates Korovkin and direct approximation results using second order modulus of continuity, Peetres K-functional Lipschitz class.

研究の動機と目的

• 近似理論における Bernstein-Schurer および Stancu 作用素を (p,q)-微積分枠組みに拡張し、近似の柔軟性を向上させること。
• 区間 [0,1] 上の連続関数に対する新しい (p,q)-バージョン作用素の収束速度を分析すること。
• 2次モジュラス連続性、PeetreのK関数性、リプシッツクラスを用いて直接近似結果を確立すること。
• 2つのパラメータ p と q を組み込むことで、q-近似理論における既存の結果を一般化すること。

提案手法

• (p,q)-整数および (p,q)-二項係数を用いて (p,q)-バージョンの Stancu-Schurer 作用素を定義する。
• [n]_p,q および p,q-二項展開を含む再帰的恒等式を用いて、作用素のモーメント推定を導出する。
• Korovkin の定理を適用して、[0,1] 上の連続関数に対する収束を証明する。
• 2次モジュラス連続性および Peetre の K関数性を用いて、直接近似推定を確立する。
• Hölder の不等式およびリプシッツクラスの条件を用いて、Lip_M(α) に属する関数の近似誤差を評価する。
• 関数が Lip_M(α) に属する場合、δ_n,l^α,β(x) = S_n,l^α,β((t−x)^2; x) の関数として収束速度の上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (p,q)-バージョンの Stancu-Schurer 作用素は、[0,1] 上の連続関数に対してどのように収束するか？
• RQ2 2次モジュラス連続性および Peetre の K関数性を用いた場合、これらの作用素の収束速度はいかほどか？
• RQ3 パラメータ α と β は (p,q)-枠組みにおける近似誤差にどのように影響するか？
• RQ4 リプシッツクラスの条件を用いて、(p,q)-作用素の明示的な誤差境界を導出できるか？
• RQ5 新たな (p,q)-作用素と既存の qアナローグおよび古典的 Bernstein-Schurer 作用素との関係は何か？

主な発見

• n→∞ のとき、(p,q)-バージョンの Stancu-Schurer 作用素は [0,1] 上の連続関数に一様収束し、Korovkin の定理を満たす。
• 収束速度は、定数倍の2次モジュラス連続性によって上限が与えられる：|S_n,l^α,β(f;x)−f(x)| ≤ C ω_2(f; √Θ_n,l^α,β(x))。
• リプシッツクラス Lip_M(α) に属する関数については、誤差が M (δ_n,l^α,β(x))^{α/2} で上限づけられる。ここで δ_n,l^α,β(x) = S_n,l^α,β((t−x)^2; x) である。
• 近似誤差は、[n+l]_p,q / ([n]_p,q + β) のパラメータ比にも依存しており、n→∞ のときこの比は 1 に収束するため、収束が保証される。
• 既存の Mursaleen 他による (p,q)-Bernstein-Schurer 作用素を一般化しており、α=β=0 の場合にそれらの結果に還元される。
• Peetre の K関数性の使用により、滑らかさと作用素モーメントを組み合わせた洗練された誤差推定が得られる。