[論文レビュー] Approximation to real numbers by cubic algebraic integers II

Damien Roy|ArXiv.org|Oct 11, 2002

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、超越的実数を三次代数的整数で近似する際の最適指数が、以前の予想とは異なり3ではなく (3 + √5)/2 ≈ 2.618 であることを確立している。GL₂(ℤ) 上の再帰的関係で定義される極値の実数を用いて、近似の測度が厳密に達成される超越的数のクラスを構成し、連分数に類似した列とディオファントス近似の性質の詳細な解析を通じて、γ² = ((1+√5)/2)² が最良であることを証明している。

ABSTRACT

It has been conjectured for some time that, for any integer n\ge 2, any real number ε>0 and any transcendental real number ξ, there would exist infinitely many algebraic integers αof degree at most n with the property that |ξ-α| < H(α)^{-n+ε}, where H(α) denotes the height of α. Although this is true for n=2, we show here that, for n=3, the optimal exponent of approximation is not 3 but (3+\sqrt{5})/2 = 2.618...

研究の動機と目的

• 超越的実数を三次代数的整数で近似する際の最適指数が3であるという予想を解消すること。
• 実際の最適指数が3未満の (3 + √5)/2 ≈ 2.618 であることを示すこと。
• 厳密な近似境界を満たす極値の実数の明示的例を構成すること。
• GL₂(ℤ) 上の再帰構造とディオファントス近似の技法を用いて、指数 γ² = ((1+√5)/2)² が最良であることを証明すること。

提案手法

• 代数的整数 α の高さ H(α) を、ℤ 上の最小多項式の係数の絶対値の最大値として定義する。
• 成長、近似、行列式の上限に関する境界を満たす ℤ³ 内の列 (xₖ) を用いて極値の実数を特徴付ける（命題 2.1）。
• GL₂(ℤ) 上の再帰的関係を用いて、行列 M = [[a,1],[-1,0]]（正の整数 a）に対応する極値数のクラス E(M) を定義する。
• 命題 2.2 を適用し、{xₖ,₀ξ³} が下から有界であれば、すべての三次代数的整数 α に対して |ξ − α| ≥ cH(α)^−γ² が成り立つことを示す。
• 補題 2.6 の再帰式を用いて、{xₖ,₀ξ³} を mod 1 で解析し、正の下界を有することを証明する。
• 文献[6]の命題 9.2 を活用して、{xₖ,₀ξ³} ≥ c₉Xₖ^−1/γ³ が成り立つことを示し、命題 2.2 の仮定が満たされることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超越的実数を三次代数的整数で近似する際、予想された指数 n = 3 が最適であるか？
• RQ2 指数を3未満に改善できるか。その場合、真の最適値は何か？
• RQ3 フィボナッチに類似した連分数を用いて構成された極値の実数は、厳密な近似境界を満たすか？
• RQ4 {xₖ,₀ξ³} が mod 1 で0から離れて保たれるための条件は何か？
• RQ5 GL₂(ℤ) 上の再帰構造を用いて、最適指数に達する明示的例を構成できるか？

主な発見

• 超越的実数を三次代数的整数で近似する際の最適指数は τ₃ = ((1+√5)/2)² = (3+√5)/2 ≈ 2.618 であり、3ではない。
• ある超越的実数 ξ と正の定数 c₁ > 0 が存在し、すべての三次代数的整数 α に対して |ξ − α| ≥ c₁H(α)^−γ² が成り立つ。
• 正の整数 a に対して M = [[a,1],[-1,0]] を用いて定義される極値数のクラス Ea は、指数 γ² を用いた厳密な近似境界を満たす。
• ξ ∈ Ea のとき、{xₖ,₀ξ³} mod 1 は高々3つの非ゼロの蓄積点を持ち、十分大きな k に対して正の定数から下限をもつ。
• 証明は、{xₖ,₀ξ³} ≥ c₉Xₖ^−1/γ³ を示し、これにより命題 2.2 の仮定を満たすことを根拠としている。
• この結果は、n ≥ 2 に対して τₙ = n であるという予想が n = 3 では成り立たないことを示しており、τ₃ = γ² < 3 である。