[論文レビュー] Approximations and selections of multivalued mappings of finite-dimensional spaces

N. Brodsky, Alex Chigogidze+1 more|ArXiv.org|Jun 9, 2001

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有限次元空間への多値写像に関する有限次元選択および近似定理の拡張次元的類似形を確立し、Michael らの古典的結果を一般化する。著者らは、スケルタル被覆と拡張次元論の理論を用いた新しい近似技法を導入し、$[L]$-ソフト写像に対するDugunji型拡張定理を証明するとともに、一般化されたHurewicz定理や $UV^{[L]}$-写像の因子分解結果といった応用を導出する。

ABSTRACT

We prove extension-dimensional versions of finite dimensional selection and approximation theorems. As applications, we obtain several results on extension dimension.

研究の動機と目的

• 拡張次元の枠組みにおいて、$[L]$-次元空間を用いて、古典的な有限次元選択および近似定理を拡張すること。
• パラコンパクト空間上の $[L]$-ソフト写像に対して、Dugunji型拡張定理を一般化すること。
• 繊維ごとの性質を用いて、写像の局所的 $[L]$-ソフト性を特徴付けること。
• 繊維積条件を用いて、拡張次元の文脈における一般化されたHurewicz定理を証明すること。
• $[L]$-ソフトおよび $UV^{[L]}$-値写像の因子分解定理を、ポーランド空間内に確立すること。

提案手法

• 各 $k$-スケルトンから $k+1$-スケルトンへの段階的近似を構成するため、被覆 $\Sigma$ と集合 $\Sigma^{(k)}$ を用いたスケルタル近似法を導入する。
• 被覆の「単体」を $\bigcup_{i=0}^{n}s_i \setminus \bigcup_{i\neq 0,\dots,n}s_i$ として定義し、単体的構造を単純接続でない被覆に対しても一般化する。
• 実コンパクト化と逆スペクトルのスペクトル的技法を用いて、ポーランド空間内の $C$-埋め込み部分空間からの写像の拡張を実行する。
• $[L]$-連結性を用いて、$\text{e-dim}Z \leq [L]$ を満たす $Z$ の閉部分空間からの写像の拡張を実行する。
• $UV^{[L]}$-性質と $[L]$-ソフト性を活用し、ポーランド空間間の写像に対する拡張および因子分解定理を証明する。
• 神経構成と $AE$-空間の性質を用いて、定理6.4により連続的選択の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元選択および近似定理は、$[L]$-次元空間を用いた拡張次元枠組みに一般化可能か？
• RQ2 繊維が $[L]$-連結で、かつ定義域の拡張次元が $\leq [L]$ であるとき、写像が連続的選択をもつための条件は何か？
• RQ3 繊維積条件を用いて、Hurewicz定理を拡張次元の文脈にどのように拡張できるか？
• RQ4 写像の局所的 $[L]$-ソフト性は、その繊維構造によってどのように特徴づけられるか？
• RQ5 $g$ が $UV^{[L]}$-写像であるとき、$f \circ g$ が $[L]$-ソフトであるならば、$f$ が $[L]$-ソフトであることを保証する条件は何か？

主な発見

• パラコンパクト空間上の $[L]$-ソフト写像に対して、Dugunji型拡張定理が確立され、古典的結果が拡張次元へ一般化された。
• 本稿では、すべての $y \in Y$ に対して $\text{e-dim}(f^{-1}(y) \times Z) \leq [L]$ かつ $\text{e-dim}Z \leq [M]$ が成り立つならば $\text{e-dim}X \leq [L]$ であることを証明し、Hurewicz定理を拡張した。
• 因子分解定理が証明された：$f \circ g$ が $[L]$-ソフトで $g$ が $UV^{[L]}$-写像であれば、$f$ は $[L]$-ソフトである。これは[5]の結果を一般化する。
• 写像の局所的 $[L]$-ソフト性は、局所的繊維ごとの $[L]$-連結性によって特徴づけられ、$n$-ソフト写像に対する既知の結果を拡張する。
• 本稿では、ポーランド空間におけるペア $(X,Y)$ の $[L]$-連結性が、拡張次元 $\leq [L]$ であるパラコンパクト空間内の $C$-埋め込み部分空間に対しても $[L]$-連結性を保証することを確立した。
• UV^{[L]}$-性質が成り立たない場合でも、スケルタル集合 $\Sigma^{(k)}$ を用いた帰納的拡張により近似定理が構成され、神経写像に依存しない。