[論文レビュー] Approximations for the Caputo Derivative (I)

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ および $(k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha}$ を用いた重みに基づく、$2 - \alpha$、$2$、$3 - \alpha$ 階の Caputo 分数階微分の高次近似を提案する。端点における重み補正を施すことで精度を向上させ、数値実験において標準的な $L1$ スキームよりも優れた精度を達成する。新しい近似式 (9) は、すべてのテストされた分数階緩和方程式において $L1$ スキームを上回る精度を示す。

ABSTRACT

In this paper we construct approximations for the Caputo derivative of order $1-α,2-α,2$ and $3-α$. The approximations have weights $0.5\left((k+1)^{-α}-(k-1)^{-α} ight)/Γ(1-α)$ and $k^{-1-α}/Γ(-α)$, and the higher accuracy is achieved by modifying the initial and last weights using the expansion formulas for the left and right endpoints. The approximations are applied for computing the numerical solution of ordinary fractional differential equations. The properties of the weights of the approximations of order $2-α$ are similar to the properties of the $L1$ approximation. In all experiments presented in the paper the accuracy of the numerical solutions using the approximation of order $2-α$ which has weights $k^{-1-α}/Γ(-α)$ is higher than the accuracy of the numerical solutions using the $L1$ approximation for the Caputo derivative.

研究の動機と目的

• 標準的な $L1$ スキームを上回る高次数値近似を、Caputo 微分に対して開発すること。
• 漸近展開を用いて初期および最終重みを修正することで、分数階微分方程式の解法における精度を向上させること。
• 重みを $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ および $(k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha}$ に基づく近似を、$2 - \alpha$、$2$、$3 - \alpha$ 階に対して構築すること。
• 数値実験において、$L1$ 近似と比較して優れた収束速度と誤差低減を示すことを実証すること。

提案手法

• 重み付き和を用いて Caputo 微分の近似を導出する。係数は $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ および $((k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha})/\Gamma(1-\alpha)$ に依存する。
• 初期および最終重みの精度向上のため、漸近展開技術を適用する。
• ステップサイズ $h = x/n$ を用いた有限差分スキームを導入し、Caputo 微分を離散化する。
• 数値実験において比較の基準として $L1$ 近似を用いる。
• Mittag-Leffler 関数を含む既知の解析解を有する分数階緩和方程式を解くことで収束性を検証する。
• 解析解を用いて誤差および収束次数を計算する。$\alpha = 0.25, 0.5, 0.75$ の場合を対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みが $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ に依存する近似は、$L1$ スキームを上回る精度を達成できるか？
• RQ2 端点における重み修正は、分数階微分方程式の数値解法における収束次数および誤差にどのように影響するか？
• RQ3 分数階緩和方程式に対して、新しい近似式 (9) の収束速度は $L1$ 法と比較してどの程度か？
• RQ4 新しい近似式 (12) は、誤差および収束次数の観点から、$L1$ および近似 (9) を上回る性能を示すか？

主な発見

• すべての数値実験において、分数階緩和方程式に対して新しい近似式 (9) は $L1$ スキームおよび近似 (12) を上回る精度を達成している。
• $\alpha = 0.25$ の場合、$h = 0.00078125$ における近似 (9) の誤差は $4.3 \times 10^{-6}$、収束次数は 1.7150 であり、$L1$ および (12) を上回る。
• $\alpha = 0.5$ の場合、$h = 0.00078125$ における近似 (9) の誤差は $6.5 \times 10^{-6}$、収束次数は 1.4931 であり、再び $L1$ および (12) を上回る。
• $\alpha = 0.75$ の場合、$h = 0.00078125$ における近似 (9) の誤差は $0.0004290$、収束次数は 1.2482 であり、一貫した優位性を示す。
• 近似 (9) を用いた数値解は $O(h^{2-\alpha})$ の収束次数で収束し、これは $L1$ スキームの理論的収束速度と一致するが、誤差は低く抑えられる。
• 近似 (12) は、すべてのテストケースにおいて $L1$ および (9) を上回る精度を達成しており、方程式 II では $h = 0.00078125$ 時に誤差が $1.7 \times 10^{-9}$ まで低下し、方程式 I では収束次数が約 2.75 に達する。