[論文レビュー] Approximations for the Moments of Nonstationary and State Dependent Birth-Death Queues

Stefan Engblom, Jamol Pender|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 21被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、非定常かつ状態依存の出生死滅過程のモーメントを推定するための、ポアソン＝シャルリエ多項式を用いた新規なスペクトル近似法を提案する。これは、キューイング理論におけるモーメント閉じ込み近似に対して、初めての証明可能な誤差境界を提供する。この手法により、モーメント方程式が閉じていない場合でも、わずか数個の展開項で平均、分散、その他のモーメントを正確かつ収束的に推定できる。

ABSTRACT

In this paper we propose a new method for approximating the nonstationary moment dynamics of one dimensional Markovian birth-death processes. By expanding the transition probabilities of the Markov process in terms of Poisson-Charlier polynomials, we are able to estimate any moment of the Markov process even though the system of moment equations may not be closed. Using new weighted discrete Sobolev spaces, we derive explicit error bounds of the transition probabilities and new weak a priori estimates for approximating the moments of the Markov processs using a truncated form of the expansion. Using our error bounds and estimates, we are able to show that our approximations converge to the true stochastic process as we add more terms to the expansion and give explicit bounds on the truncation error. As a result, we are the first paper in the queueing literature to provide error bounds and estimates on the performance of a moment closure approximation. Lastly, we perform several numerical experiments for some important models in the queueing theory literature and show that our expansion techniques are accurate at estimating the moment dynamics of these Markov process with only a few terms of the expansion.

研究の動機と目的

• 非定常かつ状態依存の出生死滅過程におけるモーメントの閉形式解および信頼性の高い近似の欠如に対処すること。
• 低次のモーメントが高次のモーメントに依存する、モーメント方程式が閉じていないという課題を克服すること。
• モーメント近似に対して証明可能な誤差境界を有する手法を開発し、キューイング理論における重要なギャップを埋めること。
• キューイング過程の非負整数値の性質を尊重する、離散的で直交多項式に基づく近似を提供すること。

提案手法

• 出生死滅過程の遷移確率および状態確率を、ポアソン分布に関して直交するポアソン＝シャルリエ多項式の展開で表現すること。
• 重み付き離散ソボレフ空間を用いて、遷移確率の切断展開に対する明示的な誤差境界を導出すること。
• チェン＝シュタインの恒等式を用いて階乗モーメントを関連付け、インジケータ関数や切断された確率変数の期待値の計算を簡略化すること。
• 展開係数および直交多項式構造を用いて、モーメントダイナミクスにおける近似誤差の弱い事前推定を導出すること。
• 無限級数展開を有限項に切断することで、実用的な計算を可能にしつつ、収束性と誤差制御を維持すること。
• 標準的なキューイングモデルにおける数値実験を通じて、本手法の妥当性を検証し、低次の展開でも高い精度を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常かつ状態依存の出生死滅過程に対して、証明可能な誤差境界を有するモーメント閉じ込み近似を構築できるか？
• RQ2 キューイング過程の離散的かつ非負の構造を保つように、遷移確率をどのように展開できるか？
• RQ3 ポアソン＝シャルリエ展開にさらに項を追加する際、モーメント近似の収束速度はどの程度か？
• RQ4 遷移確率に対する誤差境界は、過程のモーメントに対する境界にどのように変換されるか？
• RQ5 中程度のシステムレートに対しても、展開のわずかな項数で高い精度を達成できるか？

主な発見

• 提案手法は、非定常かつ状態依存の出生死滅過程の文脈において、モーメント閉じ込み近似に対して、初めての証明可能な誤差境界を提供する。
• 展開に項を追加するにつれて、近似は真の過程に収束し、明示的な切断誤差境界が導出されている。
• 数値実験の結果、展開の2〜3項で十分に高い精度の平均、分散、その他の性能指標の推定が得られる。
• キューイング過程の離散的かつ非負の性質を尊重する点で、ヒルバートやラゲール展開といった従来手法を上回る性能を示す。
• 重み付き離散ソボレフ空間の使用により、キューイングシステムに対する従来のスペクトル手法では得られなかった、厳密な誤差境界の導出が可能になった。
• 多サーバキューに時間変動するレートと顧客離脱を含む複雑なキューイングモデルに対しても、本手法は成功を収め、広範な適用可能性を示した。