[論文レビュー] Approximations of the Densest k-Subhypergraph and Set Union Knapsack problems

Richard Taylor|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 4被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、Densest k-Subhypergraph Problem (DkSHP) および Set Union Knapsack Problem (SUKP) の最初の近似アルゴリズムを提示し、それぞれ $O(n^{\theta_m + 2\theta})$ および $O(n^{\bar{\alpha}_m + \epsilon})$ の近似比を達成した。ここで $\theta_m = \frac{1}{2}m - \frac{1}{2} - \frac{1}{2m}$ および $\bar{\alpha}_m = \frac{2}{3}\left[m - 1 - \frac{2m - 2}{m^2 + m - 1}\right]$ であり、$m$ と $\epsilon$ を固定した場合、実行時間は $n$ に対して多項式的である。この手法は、反復的ラウンドと部分グラフサンプリングの技術を組み合わせることで、密度の高い部分グラフからハイパーグラフおよびナップサック設定への近似結果を拡張する。

ABSTRACT

For any given $ε>0$ we provide an algorithm for the Densest $k$-Subhypergraph Problem with an approximation ratio of at most $O(n^{θ_m+2ε})$ for $θ_m=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}-\frac{1}{2m}$ and run time at most $O(n^{m-2+1/ε})$, where the hyperedges have at most $m$ vertices. We use this result to give an algorithm for the Set Union Knapsack Problem with an approximation ratio of at most $O(n^{α_m+ε})$ for $α_m=\frac{2}{3}[m-1-\frac{2m-2}{m^2+m-1}]$ and run time at most $O(n^{5(m-2)+9/ε})$, where the subsets have at most $m$ elements. The author is not aware of any previous results on the approximation of either of these two problems.

研究の動機と目的

• Densest k-Subhypergraph Problem (DkSHP) および Set Union Knapsack Problem (SUKP) の最初の近似アルゴリズムを開発すること。これらは、既知のいくつかの NP 困難問題を一般化する。
• 最大ハイパーエッジサイズ $m$ に依存する DkSHP および SUKP の近似比を確立し、近似要因と実行時間の明示的境界を提供すること。
• 既知の密度の高い部分グラフに対する近似手法をハイパーグラフに拡張し、さらに還元と反復的ラウンド法によりより複雑な SUKP にまで拡張すること。
• 提案されたアルゴリズムの近似品質と計算効率に関する理論的保証を提供すること。特に $m$ が固定で $\epsilon > 0$ が小さい場合に注目する。

提案手法

• $m$-一様ハイパーグラフにおける DkSHP の $O(k^{m-1})$ 近似アルゴリズムをベースにし、任意の $k$ 頂点が高々 $\binom{k}{m} \leq k^m$ 個のハイパーエッジを含められることを活用する。
• 補題 2.2 を用いた確率的議論により、$\lfloor k/2 \rfloor$ 個の頂点を選択することで、最大の $m$-ハイパーエッジ数の $\frac{1}{3^m}$ を達成できることを示し、再帰的近似戦略を可能にする。
• 補題 2.3 を用いて、エッジ重みを 2 の累乗に丸め、複数のインスタンスを解くことで、重み付き DkSHWP 問題への未重み付き DkSHP 近似の拡張を実現し、$O(f(n)\log n)$ の近似を得る。
• SUKP を DkSHWP インスタンスに還元する。各 $P$ 内のサブセットをハイパーエッジに対応させるハイパーグラフ $H^*$ を構築し、DkSHWP 近似を用いて SUKP の近似を導出する。
• 反復的サンプリングと次数に基づく選択を適用し、近似されたハイパーグラフから妥当な解を構築し、最終的な解が最適利益を $O(n^{\alpha_m + \epsilon})$ 以内に近似できることを保証する。
• ハイパーグラフの構造に関する帰納法とケース解析を用いて、近似比と実行時間を制限し、最終的な近似要因を部分グラフ近似と重みラウンドの対数的数の組み合わせから導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーエッジサイズが最大 $m$ の場合、Densest k-Subhypergraph Problem に対して達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ2 密度の高い部分グラフに対する近似フレームワークを、エッジサイズが有界なハイパーグラフに拡張可能か？ その場合の近似品質はどのようになるか？
• RQ3 Set Union Knapsack Problem をハイパーグラフ問題に還元することで、既存の近似手法を活用するにはどうすればよいか？
• RQ4 近似比と実行時間のトレードオフは、$m$ と $\epsilon$ の観点でどのようになるか？
• RQ5 SUKP に対して、$m$ と $\epsilon$ に依存する近似比を達成する多項式時間近似スキームを達成可能か？

主な発見

• 本稿では、ハイパーエッジサイズが最大 $m$ のハイパーグラフに対して、Densest k-Subhypergraph Problem の近似比 $O(n^{\theta_m + 2\epsilon})$ を達成した。ここで $\theta_m = \frac{1}{2}m - \frac{1}{2} - \frac{1}{2m}$ である。
• Set Union Knapsack Problem に対しては、近似比 $O(n^{\alpha_m + \epsilon})$ を提供した。ここで $\alpha_m = \frac{2}{3}\left[m - 1 - \frac{2m - 2}{m^2 + m - 1}\right]$ であり、$m$ は最大サブセットサイズを表す。
• DkSHP の近似の実行時間は $O(n^{m - 2 + 1/\epsilon})$ で抑えられ、SUKP では $O(n^{5(m - 2) + 9/\epsilon})$ である。両者とも $m$ を固定し $\epsilon > 0$ であれば $n$ に対して多項式的である。
• SUKP の近似は、反復的ラウンドによるサブセット利益の丸めとハイパーグラフ部分構造への再帰的サンプリング戦略を用いた DkSHWP 問題への還元により得られた。
• 解析により、$n$ が十分に大きい場合、SUKP の最終的な近似要因は $O(n^{\alpha_m + 2\epsilon})$ よりも小さいことが示された。これは、対数的要因が漸近的境界に吸収されるためである。
• 表 1 は $m = 2$ から $6$ までの $\theta_m$ と $\alpha_m$ の明示的な値を示しており、$m$ が増加するにつれて近似比が改善することが分かる。$\theta_6 = 29/12 \approx 2.42$ および $\alpha_6 = 130/41 \approx 3.17$ である。