[論文レビュー] Arbitrage free cointegrated models in gas and oil future markets

Grégory Benmenzer, Emmanuel Gobet+1 more|ArXiv.org|Dec 20, 2007

Market Dynamics and Volatility参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、物理測度下でのベクトル誤差補正モデル（VECM）を用いて長期的コインtegrationを統合し、同時にリスクニュートラルな価格設定のための動的構造を保つ、天然ガスおよび原油先物取引の連続時間型アービトラージフリーなモデルを提案する。市場リスクプレミアムをモデル化することで、アービトラージフリー条件を満たし、正確なリスク管理およびオプション価格設定を可能にする。ヨーロッパ市場データへのキャリブレーションにより、観察されたフォワードカーブおよび長期的価格関係に対する良好な適合性が示された。

ABSTRACT

In this article we present a continuous time model for natural gas and crude oil future prices. Its main feature is the possibility to link both energies in the long term and in the short term. For each energy, the future returns are represented as the sum of volatility functions driven by motions. Under the risk neutral probability, the motions of both energies are correlated Brownian motions while under the historical probability, they are cointegrated by a Vectorial Error Correction Model. Our approach is equivalent to defining the market price of risk. This model is free of arbitrage: thus, it can be used for risk management as well for option pricing issues. Calibration on European market data and numerical simulations illustrate well its behavior.

研究の動機と目的

• 天然ガスおよび原油価格間の長期的コインテグレーションを捉えつつ、価格設定用途に適したアービトラージフリーな連続時間モデルを構築すること。
• 歴史的データで観察される長期的依存性（コインテグレーションを介して）と、リスクニュートラル価格設定に必要な短期的確率的ダイナミクスを調和させること。
• 初期フォワードカーブと整合するように、実際のヨーロッパ市場データ（先物契約）を用いてモデルをキャリブレーションすること。
• リスクニュートラル測度下でのアービトラージフリー整合性を保証することで、リスク管理（例：VaR）およびデリバティブ価格設定への実用的応用を可能にすること。
• 短期的ボラティリティと長期的均衡関係の両方を反映した現実的な価格シナリオを生成できるかどうかを示すこと。

提案手法

• 本モデルは二重測度フレームワークを採用する。コインテグレーションは、基礎資産価格の動きに関して物理確率測度（P）下でベクトル誤差補正モデル（VECM）によって強制的に組み込む。
• リスクニュートラル測度（Q）下では、フォワードリターンが相関したブラウン運動によって駆動され、主成分分析（PCA）から導出されたボラティリティ関数が用いられる。
• 物理的ダイナミクスとリスクニュートラルダイナミクスを結ぶために、市場リスクプレミアム（λt）を導入し、アービトラージフリー条件を満たす。
• 通常最小二乗法と情報基準（BIC）を用いて、VECMパラメータ（ΠとΣΣ*）およびボラティリティ減衰パラメータ（τi）を推定することで、ヨーロッパのガスおよびオイル先物データにモデルをキャリブレーションする。
• Eulerスキームを用いたシミュレーションにおいて、初期フォワードカーブを中心にシミュレーションを集中させるために、時間的に変化するθtパラメータを導入し、精度を向上させる。
• 本モデルは柔軟な構造を備えており、特にガスのボラティリティにおける季節性を将来的に組み込むことができるが、コアダイナミクスに変更を加えることなく実現可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間モデルとして、ガスおよびオイル価格間の長期的コインテグレーションを同時に捉えつつ、デリバティブ価格設定に適したアービトラージフリー条件を満たすことは可能か？
• RQ2 エネルギーフューチャーズ市場において、歴史的コインテグレーションとリスクニュートラルダイナミクスのギャップを埋めるために、市場リスクプレミアムをどのようにモデル化できるか？
• RQ3 基礎価格の動きにVECMを適用したモデルは、ガスおよびオイル市場における観察されたフォワードカーブの形状および長期的価格関係をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 キャリブレーション済みモデルは、短期的ボラティリティと長期的均衡関係の両方を反映した現実的な価格シナリオをどの程度正確にシミュレートできるか？
• RQ5 初期フォワードカーブに合わせてシミュレートされた価格を調整できるか。リスク管理応用における現実性向上に寄与するか？

主な発見

• 本モデルは、天然ガスおよび原油価格間の長期的コインテグレーションを効果的に捉え、フィリップス・オウリアス検定により「コインテグレーションがない」という帰無仮説が棄却された（p値 < 0.05）。
• キャリブレーションにより、特徴的な時間パラメータが得られた：τ₁ᵍ = 0.736年（ガス）、τ₁ᶜ = 3.761年（オイル）。これは、ショック後におけるオイル価格のより高い持続性を示している。
• θtパラメータを調整した後、初期フォワードカーブからのシミュレーションのずれはガスで0.08%、オイルで0.03%にまで低下した。調整なしではそれぞれ5.6%および2.1%であった。
• 推定されたVECM行列Πは顕著な長期的関係を示しており、例えばXₜ¹ − 0.97Xₜ⁴ = uₜ（uₜは定常過程）という関係が成り立つ。これはコインテグレーションの確認を示している。
• VECMから導出された分散・共分散行列ΣΣ*は、六次元プロセスにおける正および負の相関関係を現実的に捉えている。
• 数値的シミュレーションにより、本モデルは現実的で整合性のある価格経路を生成しており、単純なモデルが示す不自然な乖離（例：ガス価格上昇とオイル価格下落）を回避している。