[論文レビュー] Arbitrage in Fractal Modulated Markets When the Volatility is Stochastic

Erhan Bayraktar, H. Vincent Poor|ArXiv.org|Jan 22, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分数次元の変調付きブラック・ショールズモデルにおける確率的ボラティリティを伴うアービタージュ戦略を構築する。原資産価格過程は、分数 Browm 動的過程（fBm）または時間変換付き fBm に従う。このような過程のゼロ二次変動性の性質を活用することで、連続的かつ適応的積分因子を支持する確率的積分枠組みを確立し、ハースト指数 H の推定を必要とせずに明示的なアービタージュを実現する。

ABSTRACT

In this paper an arbitrage strategy is constructed for the modified Black-Scholes model driven by fractional Brownian motion or by a time changed fractional Brownian motion, when the volatility is stochastic. This latter property allows the heavy tailedness of the log returns of the stock prices to be also accounted for in addition to the long range dependence introduced by the fractional Brownian motion. Work has been done previously on this problem for the case with constant `volatility' and without a time change; here these results are extended to the case of stochastic volatility models when the modulator is fractional Brownian motion or a time change of it. (Volatility in fractional Black-Scholes models does not carry the same meaning as in the classic Black-Scholes framework, which is made clear in the text.) Since fractional Brownian motion is not a semi-martingale, the Black-Scholes differential equation is not well-defined sense for arbitrary predictable volatility processes. However, it is shown here that any almost surely continuous and adapted process having zero quadratic variation can act as an integrator over functions of the integrator and over the family of continuous adapted semi-martingales. Moreover it is shown that the integral also has zero quadratic variation, and therefore that the integral itself can be an integrator. This property of the integral is crucial in developing the arbitrage strategy. Since fractional Brownian motion and a time change of fractional Brownian motion have zero quadratic variation, these results are applicable to these cases in particular. The appropriateness of fractional Brownian motion as a means of modeling stock price returns is discussed as well.

研究の動機と目的

• 分数 Browm 動的過程モデルにおける既存のアービタージュ結果を、確率的ボラティリティを伴う状況に拡張すること。
• fBm や時間変換付き fBm と整合する確率的積分枠組みを構築すること。これらは半マルティンゲールでない。
• 連続的かつ適応的過程で二次変動がゼロであるものが、積分因子として、積分因子の関数および連続的半マルティンゲールの両方の積分に用いられることを示すこと。
• このような積分が二次変動がゼロであることを示し、アービタージュ構築における再帰的利用を可能にすること。
• ハースト指数 H の推定を必要としない経済的解釈可能なアービタージュ戦略を提供すること。

提案手法

• Wick 型積分ではなく、分割を細かくする際の Stieltjes 和の確率的収束に基づいて確率的積分を定義すること。
• ほとんど確実に連続的かつ適応的で二次変動がゼロである任意の過程が、連続的適応的半マルティンゲールおよび積分因子の関数の積分因子として機能できることを証明すること。
• 得られる積分が二次変動がゼロであることを確立し、取引戦略の構築における再帰的利用を可能にすること。
• ハースト指数 H ∈ (1/2, 1] の分数 Browm 動的過程（fBm）および時間変換付き fBm にこの枠組みを適用すること。
• 確率的ボラティリティおよび fBm に従う拡散過程に基づく株価動態に依拠した明示的アービタージュ戦略を構築すること。
• 戦略がハースト指数 H に依存しないことを示し、H は価格過程にのみ関与し、取引ルールに直接関与しないこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browm 動的過程に従う修正ブラック・ショールズモデルにおいて、確率的ボラティリティを伴う場合にアービタージュを構築できるか？
• RQ2 fBm や時間変換付き fBm のゼロ二次変動性の性質が、非半マルティンゲール過程に対する一貫性のある確率的積分枠組みを可能にするか？
• RQ3 このような積分因子を再帰的に用いて、保証された利益をもたらす自己資金取引戦略を構築できるか？
• RQ4 得られるアービタージュ戦略はハースト指数 H の値に頼るか、それとも H の推定を必要とするか？
• RQ5 経済的解釈可能性およびアービタージュ生成という観点から、提案された Stieltjes 型積分枠組みは Wick 型積分と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 確率的ボラティリティを伴う分数 Browm 動的過程（fBm）またはその時間変換版に従う修正ブラック・ショールズモデルにおいて、明示的なアービタージュ戦略が存在する。
• Stieltjes 和の収束に基づく確率的積分は、ほとんど確実に連続的かつ適応的で二次変動がゼロである任意の過程に対して適切に定義される。
• このような積分はゼロ二次変動性を保ち、取引戦略の構築における再帰的利用を可能にする。
• アービタージュ戦略はハースト指数 H の推定を必要とせず、株価過程に依存するが H そのものに直接依存しない。
• この枠組みは、リスクのない利益をもたらす連続取引戦略を支持し、確率的ボラティリティを伴う分形市場におけるアービタージュの存在を示している。
• 結果として、fBm を用いたモデルでさえ、非半マルティンゲールの性質を持つが、選択された積分理論のもとで経済的解釈可能なアービタージュ戦略を支持できることが示された。