[論文レビュー] Arbitrarily High-order Unconditionally Energy Stable Schemes for Gradient Flow Models Using the Scalar Auxiliary Variable Approach

Yuezheng Gong, Jia Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Numerical methods for differential equations参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、エネルギー安定性を無条件に保つ、任意の高次精度の時間積分スキームであるHigh-Order Scalar Auxiliary Variable (HSAV) 法を提案する。SAVアプローチと高次時間積分法を組み合わせることで、従来のSAVスキームに比べてはるかに大きな時間ステップを許容しつつ、最適な収束速度を達成し、複数のベンチマークモデルにおいてもエネルギー安定性と高い精度を維持する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel family of high-order numerical schemes for the gradient flow models based on the scalar auxiliary variable (SAV) approach, which is named the high-order scalar auxiliary variable (HSAV) method. The newly proposed schemes could be shown to reach arbitrarily high order in time while preserving the energy dissipation law without any restriction on the time step size (i.e., unconditionally energy stable). The HSAV strategy is rather general that it does not depend on the specific expression of the effective free energy, such that it applies to a class of thermodynamically consistent gradient flow models arriving at semi-discrete high-order energy-stable schemes. We then employ the Fourier pseudospectral method for spatial discretization. The fully discrete schemes are also shown to be unconditionally energy stable. Furthermore, we present several numerical experiments on several widely-used gradient flow models, to demonstrate the accuracy, efficiency and unconditionally energy stability of the HSAV schemes. The numerical results verify that the HSAV schemes can reach the expected order of accuracy, and it allows a much larger time step size to reach the same accuracy than the standard SAV schemes.

研究の動機と目的

• 勾配流れモデルのための任意の高次精度で時間に正確な数値スキームを構築する一般枠組みを構築すること。
• 従来のSAVスキームが通常は2次精度に制限されているという限界を克服し、より高い次数の時間収束を可能にすること。
• 時間ステップサイズにかかわらずエネルギー安定性を保証することで、長時間シミュレーションを効率的に行えるようにすること。
• 自由エネルギー関数の具体的な形に関する仮定を必要とせず、熱力学的に整合性のある勾配流れモデルの広いクラスにSAVアプローチを適用可能にすること。
• Allen-Cahn、Cahn-Hilliard、MBE方程式などの広く使われているモデルを用いた数値実験を通じて、手法の効率性と精度を示すこと。

提案手法

• HSAV法は、元の勾配流れモデルをスカラー補助変数（SAV）アプローチを用いて再定式化し、自由エネルギーが新しい変数に関して二次的になるように変数を導入する。
• 高次時間積分は、ガウス＝ルジャンドル法や後退差分公式（BDF）などの線形化されたルンゲ＝クッタ法や多段法を、SAV再定式化系に適用することで達成する。
• 得られる半離散スキームは、修正された自由エネルギー関数に関して無条件エネルギー安定であることが証明され、離散的にエネルギーが減少することが保証される。
• 空間離散化には、スペクトル精度を達成し、FFTを用いた効率的な計算が可能なフーリエ擬スペクトル法が用いられる。
• 完全離散スキームは、時間積分法とSAV再定式化の構造保存性のおかげで、無条件エネルギー安定性の性質を継承する。
• この手法は一般性に富んでおり、自由エネルギー関数の具体的な形に関する仮定を必要としないため、広範な勾配流れモデルに適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SAVフレームワークと任意の高次時間積分を組み合わせることで、勾配流れのシミュレーションにおいて高精度と無条件エネルギー安定性の両方を達成できるか？
• RQ2 提案されたHSAV法は、Allen-Cahn、Cahn-Hilliard、MBEモデルを含む多様な勾配流れモデルにおいて、大時間ステップでもエネルギー安定性を維持できるか？
• RQ3 同じ精度レベルと時間ステップサイズにおいて、HSAVスキームの数値誤差と計算コストは、標準的なSAVスキームと比べてどのように異なるか？
• RQ4 HSAV法は、エネルギー散逸を保ちつつ、期待される収束速度を達成するにあたり、どの程度大きな時間ステップを許容できるか？
• RQ5 HSAVフレームワークは、検証済みの例を超えて、他の熱力学的に整合性のあるモデルへ一般化可能か？

主な発見

• 4次および6次HSAVスキームは、時間ステップの細分化実験において期待される収束次数が達成されており、時間方向に最適な収束速度を示している。
• 同様の時間ステップにおいて、標準的なSAV-CNスキームに比べて、HSAVスキームは数個のオーダーも小さい数値誤差を示している。
• 勾配選択付きMBEモデルでは、6次HSAVスキームはδt = 0.05の時間ステップでもエネルギー散逸を正確に捉えているが、SAV-CNスキームは同程度の精度を得るためにはδt = 10⁻⁴が必要であった。
• 4次HSAVスキーム（δt = 0.025）の総CPU時間は79.45秒であったのに対し、SAV-CNスキーム（δt = 0.0001）は672.39秒であり、5〜8倍の高速化が達成された。
• 4次HSAVスキーム（δt = 0.025）を用いたMBEモデルの数値解は、既知の文献結果と一致する形で物理的に整合性のあるパターンを再現しており、手法の物理的妥当性が検証された。
• HSAV法は、全テストモデルにおいて無条件エネルギー安定性を維持しており、時間ステップサイズにかかわらずエネルギーが単調に減少している。