[論文レビュー] Arbitrary large number of non trivial rescaling limits

Matthieu Arfeux, Guizhen Cui|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ における有理写像の系列を構成し、任意に大きな数の動的に独立で非単項式のスケーリング極限を生じさせることを示している。これは、以前の予想とは対照的に、このような極限の数に普遍的な上限が存在しないことを証明する。木構造の球面と、穴あき円板上の正則族を用いて、形式的プアヌア級数上のベルコヴィッチ射影直線上に非自明な力学的挙動を確立した。

ABSTRACT

We construct a family of rational map sequences providing an arbitrary large number of dynamically independent rescaling limits of non monomial type. From this, we deduce the existence of a family of rational maps providing a non trivial dynamics on the Berkovich projective line over the field of formal Puiseux series.

研究の動機と目的

• 複素力学における根本的な未解決問題を解決すること：有理写像の次数 $d$ における動的に独立で非単項式のスケーリング極限の数が、有界であるかどうか。
• 次数 $d \geq 3$ の $\mathrm{Rat}_d$ 内で、任意に多くのこのようなスケーリング極限を持つ有理写像の系列を明示的に構成すること。
• 形式的プアヌア級数体上のベルコヴィッチ射影直線上に非自明な力学的挙動が存在することを示すこと。
• スケーリング極限と正則族を介して、正則力学、非アルキメデス力学、および木構造の球面の理論を統合すること。

提案手法

• 文献[CP]からの自己グラフ技術を応用し、複数の独立したスケーリング極限を生じさせるように調整した有理写像系列の構成。
• 動的システムをモデル化し、反復における臨界的挙動を追跡するために、木構造の球面の言語を用いる。
• 離散的系列を、穴あき円板 $\mathbb{D}^\star$ 上の正則族 $f_t \in \mathrm{Rat}_d$ に翻訳することで、正則的依存性を保証する。
• 文献[Arfd]に示された非アルキメデス力学と木構造の球面の間のブリッジを適用し、結果をベルコヴィッチ空間 $\mathbb{P}^1_{\mathrm{Berk}}$ に持ち上げる。
• 木構造の球面間の被覆の整合性（$\mathcal{F}' \lhd \mathcal{F}$ を通じて）を用いて、スケーリングレベル全体にわたる一貫した組合せ的構造を保証する。
• シシクーラの木構造とその力学的挙動を活用し、臨界軌道構造とスケーリングの独立性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理写像の次数 $d$ に対して、動的に独立で非単項式のスケーリング極限の数に普遍的な上限が存在するか？
• RQ2 $d \geq 3$ に対して、任意に多くのこのような独立したスケーリング極限を持つ有理写像の系列を構成できるか？
• RQ3 このような極限の存在が、形式的プアヌア級数体上のベルコヴィッチ射影直線上に非自明な力学的挙動をもたらすか？
• RQ4 穴あき円板 $\mathbb{D}^\star$ 上の正則族は、非アルキメデス的設定におけるスケーリング極限とどのように関係するか？
• RQ5 木構造の球面は、スケーリング極限の符号化と分類、およびそれらの独立性に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の $n \in \mathbb{N}^*$ および $d \geq 3$ に対して、$n$ 個の動的に独立で、後臨界的有限かつ非単項式のスケーリング極限を持つ $\mathrm{Rat}_d$ 内の系列が存在する。
• この構成により、定理A（[Kiw15]）で示された $2d-2$ 個の動的に独立なスケーリングクラスの上限が、非単項式極限に拡張されないことが証明された。
• このような系列の存在により、コロナリー1で述べられているように、$n$ 個のこのようなスケーリング極限を持つ、$\mathbb{D}^\star$ 上の正則族 $f_t$ が存在することが示された。
• 非アルキメデス的ブリッジを用いることで、形式的プアヌア級数体上のベルコヴィッチ射影直線上に非自明な力学的挙動を示す有理写像が存在することが導かれた。
• 木構造の球面間の被覆の整合性により、臨界構造が制限下でも保存され、独立なスケーリングの再帰的構成が可能になった。
• この結果により、次数 $d \geq 3$ において、独立した非単項式スケーリング極限の数が有界でないことが確認され、[Kiw15]の質問1.1が解決された。