[論文レビュー] Arbitrary many walkers meet infinitely often in a subballistic random environment

Alexis Devulder, Nina Gantert+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Z 上の部分力学的で一時的な確率的環境において、任意の有限個の独立した確率ウォークがほとんど確実に無限回交差することを確立している。個々のウォークは零速度で非再帰的であるにもかかわらず、環境の構造とウォークの共有される部分力学的スケーリングのおかげで、連合過程が原点を無限回再訪問する。この結果は、経路分解とカップリング技法に依拠している。

ABSTRACT

We consider $d$ independent walkers in the same random environment in $\\mathbb{Z}$. Our assumption on the law of the environment is such that a single walker is transient to the right but subballistic. We show that - no matter what $d$ is - the $d$ walkers meet infinitely often, i.e. there are almost surely infinitely many times for which all the random walkers are at the same location.

研究の動機と目的

• Z 上の同一の部分力学的で非再帰的な確率的環境における、複数の独立した確率ウォークが無限回交差するかどうかを調査すること。
• 個々の非再帰性（零速度）と、会合イベントにおける集団的再帰性との間の矛盾を解消すること。
• 従来の再帰的環境における衝突に関する結果を、非再帰的で部分力学的な領域へと拡張すること。
• 任意の d ≥ 2 個のウォークに対して、無限回の会合が発生することを確立すること。

提案手法

• 共通の確率的環境 ω における d 個の独立した確率ウォークの連合的挙動を分析するため、クエンチドおよびアンネールド分布の使用。
• 特に m₁(h) を含むレベル到達に関連する停止時刻における強マルコフ性を応用し、経路を分解すること。
• E[ρ₀^κ] = 1 を満たす一意な κ ∈ (0,1) の存在を活用し、単一ウォークの部分力学的スケーリングを特徴づけること。
• 高レベル h に到達する前後におけるウォークの挙動の条件付きカップリングを、環境の i.i.d. 構造と経路分解を用いて行うこと。
• 遷移確率が非退化であることを保証するため、環境の楕円性条件 P[ω₀ ∈ [ε₀,1−ε₀]] = 1 を使用すること。
• 到達後経路と、(−∞,0] よりも先に [h,∞) に到達することを条件づけたランダムウォークとの法則的同一性を用いて、再帰性の分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≥ 2 個の独立した確率ウォークが、同じ部分力学的で非再帰的な確率的環境において無限回交差するか？
• RQ2 個々の非再帰性にもかかわらず、配置空間において連合過程が再帰的挙動を示すか？
• RQ3 単一ウォークの部分力学的スケーリングが、集団的会合の頻度と性質にどのように影響するか？
• RQ4 会合回数が、d にかかわらずほとんど確実に無限回であるか？

主な発見

• 任意の d ≥ 2 に対して、Z 上の同一の部分力学的確率的環境における d 個の独立した確率ウォークは、ほとんど確実に無限回交差する。
• 各個々のウォークが零速度（すなわち、limₙ→∞ Sₙ / n = 0 a.s.）で非再帰的であるにもかかわらず、この結果が成り立つ。
• 鍵となるメカニズムは、E[ρ₀^κ] = 1 を満たす一意な κ ∈ (0,1) の存在であり、これは単一ウォークの部分力学的スケーリングを支配する。
• 本証明は、高レベル h に到達後のウォーク挙動が、(−∞,0] よりも先に [h,∞) に到達することを条件づけたランダムウォークと条件付きで同等であることを示す経路分解とカップリング論法に依拠している。
• 連合過程は Z^d 上で非再帰的であるが、環境の構造とウォークの共有スケーリングのおかげで、集合 {(x,…,x) : x ∈ Z} に無限回再び戻ってくる。