[論文レビュー] Arborealization II: Geomorphology of Lagrangian ridges

Daniel Álvarez‐Gavela, Yakov Eliashberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、ラグランジュ部分多様体とラグランジュ分布の間の接点を完全に除去できるh原理を確立する。そのために、R²における角|q| = |p|のモデルであり、それらの高次元版である、制御された非滑らか点（ラグランジュリッジ）を導入する。主な貢献は、事前条件なしにすべての接点を除去するための位相的メカニズムを提供することであり、その代償として特定の安定した特異点を導入する。

ABSTRACT

We prove an h-principle without pre-conditions for the elimination of tangencies of a Lagrangian submanifold with respect to a Lagrangian distribution. The main result states that the tangencies can always be completely removed at the cost of allowing the Lagrangian to develop certain non-smooth points, called Lagrangian ridges, modeled on the corner $\{p = |q|\} \subset \mathbb{R}^2$ together with its products and stabilizations.

研究の動機と目的

• シンプレクティックトポロジーにおけるラグランジュ部分多様体とラグランジュ分布の間の接点問題に取り組む。
• 幾何的または位相的事前条件なしに、このようなすべての接点を除去するための位相的手法を開発する。
• 接点が除去された際に生じる制御された特異点（ラグランジュリッジ）の性質を特定する。
• 非滑らかではあるが明確に定義された特異構造を用いたラグランジュ埋め込みの安定化を可能にする、シンプレクティック幾何学における基礎的h原理を確立する。

提案手法

• h原理フレームワークを用いて、ラグランジュ部分多様体を変形し、与えられたラグランジュ分布との接点を除去する。
• 主な特異構造として、R²における角{p = |q|}とその積および安定化によるモデル化されたラグランジュリッジを導入する。
• 相対的h原理の構成を適用し、リッジ以外の領域でラグランジュ性を保ちつつ、ラグランジュ多様体の局所的変更を可能にする。
• 安定化手順を用いて、リッジモデルを高次元およびより一般的なラグランジュ配置へと拡張する。
• シンプレクティックトポロジーの柔軟性に依拠し、リッジの存在が望ましい位相的・幾何的性質を妨げないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ部分多様体とラグランジュ分布の間のすべての接点は、事前条件がなくても、ホモトピーによって完全に除去可能か？
• RQ2 位相的障害が存在しない状況で接点を除去した際に、どのような制御された特異点が生じるか？
• RQ3 これらの特異点の幾何は、高次元においてどのようにモデル化され、安定化されるか？
• RQ4 このような除去を可能にしつつラグランジュ条件を保つ体系的なh原理は存在するか？

主な発見

• ラグランジュ部分多様体とラグランジュ分布の間の接点は、常に、特異点としてラグランジュリッジのみを導入するホモトピーによって完全に除去可能である。
• 導入された特異点は、R²における角{p = |q|}と、その積および安定化による高次元版に正確にモデル化されている。
• 初期構成にあらゆる事前条件がなくても、この構成は有効であり、このクラスの問題に対する一般化されたh原理を確立する。
• 得られるラグランジュリッジは安定的であり、特異集合を除きラグランジュ条件を保ち、特異集合は制御可能で明確に理解されている。